Tangentialebene

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Die Tangentialebene einer gekrümmten Fläche ist diejenige Ebene, die im betrachteten Punkt die Fläche berührt. Sie steht senkrecht auf dem Normalenvektor der Fläche.

Inhaltsverzeichnis

1 Charakterisierungen
2 Beispiel
3 Eigenschaften
4 Anwendungen

[Bearbeiten] Charakterisierungen

Es sei $M\subset\R^3$ eine Fläche und $p\in M$ ein Punkt.

Die Tangentialebene $T p M$ ist Ebene durch $p$ , die von den Geschwindigkeitsvektoren von durch $p$ verlaufenden Wegen aufgespannt wird: Ist $\gamma\colon(-1,1)\to M$ ein Weg mit $γ(0) = p$ , so ist $p + \dot\gamma(0)$ ein Punkt der Tangentialebene.
Ist $M$ in Parameterform gegeben, ist also $U\subseteq\R^2$ eine offene Teilmenge und $f\colon U\to\R^3$ eine Abbildung mit $f (p 0) = p$ , so dass $M$ in der Nähe von $p$ durch das Bild von $f$ beschrieben wird, und hat die Totalableitung von $f$ in $p 0$ den maximalen Rang 2, so wird die Ebene vom Bild der Totalableitung aufgespannt:

$T_pM=p + \operatorname{im} Df(p_0).$

Ist $M$ durch eine Gleichung gegeben, ist also $M$ lokal bei $p$ die Lösungsmenge von $g (x) = 0$ für eine differenzierbare Funktion $g\colon\R^3\to\R$ , und ist der Gradient $\operatorname{grad} g(p)\ne0$ , so ist $\operatorname{grad} g(p)$ der Normalenvektor der Fläche, die Ebene wird also durch

$\langle x - p, \operatorname{grad}g(p)\rangle=0$

beschrieben.

[Bearbeiten] Beispiel

Ist $p = (x 0, y 0, z 0)$ ein Punkt auf dem Ellipsoid

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,$

so ist die Tangentialebene in $p$ gegeben durch

$\frac{2x_0(x-x_0)}{a^2}+\frac{2y_0(y-y_0)}{b^2}+\frac{2z_0(z-z_0)}{c^2}=0.$

[Bearbeiten] Eigenschaften

Ist die Gauß-Krümmung der Fläche

positiv, so liegt die Fläche lokal auf einer Seite der Tangentialebene;
negativ, so wird die Fläche von der Tangentialebene geschnitten.

[Bearbeiten] Anwendungen

Die Tangentialebene ist eine lokale Approximation an die Fläche, die eine einfachere Struktur besitzt. Dies wird beispielsweise genutzt für:

Abbildungen (Projektionen von Flächen auf eine Ebene, wie es etwa für Karten notwendig ist)
vereinfachte Berechnung ebener Koordinaten in der Vermessungskunde
Korrektur von Höhenmessungen wegen der Erdkrümmung

Von „http://de.wikipedia.org../../../t/a/n/Tangentialebene.html“

Kategorie: Differentialgeometrie