Diskussion:Teilbarkeit durch Primzahlen
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Der Autor Sascha hat einige Fragen bezüglich der Teilbarkeit durch Primzahlen, die ich mal hierhin verschoben habe:
Man nimmt die letzte Ziffer von der Zahl weg, multipliziert diese mit einer Zahl und addiert diese zum Rest hinzu. Wenn das Ergebnis ein Vielfaches von dem gesuchten Teiler ist, dann ist die Ursprungszahl teilbar durch diesen Teiler.
Also, als erstes führe ich hier mal kurz ein paar Variablen ein.
ProbierZahl = Ist die Zahl zum Testen. / Rest = Ist die Zahl, die übrigbleibt, wenn man die letzte Ziffer entfernt / LetzteZiffer = Die letzte Ziffer / Zahl = Die ganze Zahl. (unverändert) /
Bsp.: 19 dann gilt: LetzteZiffer=9 , Rest=1 , Zahl=19 , ProbierZahl= noch unbekannt.
Bsp.: 46519 dann gilt: LetzteZiffer=9, Rest=4651, Zahl=46519, ProbierZahl=noch unbekannt.
-Die Probierzahl kann man folgendermaßen ermitteln:
Probierzahl = ( Zahl - Rest ) / (LetzteZiffer)
Bsp.: 46519 Probierzahl = (46519 - 4651 ) / 9 = 4652
(- Jede Zahl besitzt eine andere Probierzahl.)
Da man nun die Probierzahl von der Zahl 46519 besitzt, kann man leicht überprüfen, ob eine Zahl durch 46519 Teilbar ist, oder nicht.
Beispiel: Ist die Zahl 1069937 durch 46519 Teilbar ?
(46519 * letzte Ziffer)+Rest = (4652 * 7) + 106993 = 139557
(46519 * letzte Ziffer)+Rest = (4652 * 7) + 13955 = 46519
Und da 46519 klar durch 46519 teilbar ist (=1) , ist die Ausgangszahl 1069937 auch durch 46519 teilbar. JEDES Zwischenergebnis ist übrigens ein Vielfaches vom zu prüfenden Teiler! Das bedeutet, daß man nicht alle Schritte durchgehen muß, um zu überprüfen ob Teilbarkeit vorliegt, oder nicht.
- Einige Ergänzungen:
Es kann vorkommen, daß man bei dem Versuch die Probierzahl zu ermitteln ein irrationales Ergebnis bekommt. (Zahl mit Kommastellen) Dann muß man folgende Methode anwenden:
- Zuerst schaut man sich die letzte Ziffer an. - Da dies hier nur ein Beispiel für Primzahlen ist,
kann die letzte Ziffer nur 1,3,7 oder 9 betragen.
Wenn die letzte Ziffer eine 1 ist, gilt:
Probierzahl = (Zahl - Rest)
Wenn die letzte Ziffer eine 3 ist, gilt:
Probierzahl = (Rest * 3 ) +1
Wenn die letzte Ziffer eine 7 ist, gilt:
Probierzahl = ( 7 * (Rest +1 )) -2
Wenn die letzte Ziffer eine 9 ist, gilt:
Probierzahl = (Rest +1)
Ich würde gerne wissen, warum dies funktioniert ?
- Und gibt es eine Möglichkeit mit EINER EINZIGEN Formel eine Zahl auf Teilbarkeit hin zu untersuchen?
Mfg. Sascha
