Ultrafilter
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Ein Ultrafilter ist in der Mathematik ein Filter, der sich nicht weiter verfeinern lässt. Man kann die Ultrafilter grob in zwei Arten unterteilen: als erstes seien die Elementarfilter genannt. Dies sind Filter, die durch eine Einpunktmenge erzeugt werden. Sie sind Ultrafilter, und es sind die einzigen Ultrafilter, die man explizit konstruieren kann. Die zweite Art der Ultrafilter sind die freien Ultrafilter. Sie lassen sich nur mit Hilfe des Auswahlaxioms konstruieren.
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[Bearbeiten] Definitionen
Die folgenden Aussagen über einen Filter 
auf einer Menge X sind äquivalent und können zur Definition eines Ultrafilters dienen:
- ist ein Ultrafilter auf X.
- Es existiert kein Filter, der echt feiner als ist.
- Für jede Teilmenge A von X gilt, dass entweder A selbst oder ihr Komplement
Element von ist:
[Bearbeiten] freier Ultrafilter
Wir sagen, ein Ultrafilter heißt freier Ultrafilter, wenn die Schnittmenge aller seiner Elemente die leere Menge ist.
[Bearbeiten] Ultrafilter einer Ordnung
Im Kontext der allgemeineren Definition von Filter als Teilmenge einer halbgeordneten Menge P heißt ein Filter F Ultrafilter, wenn es keinen feineren Filter als F gibt, der nicht schon ganz P ist - formal ausgedrückt: Wenn F' ein Filter auf P ist mit 
, dann gilt F' = F oder F' = P.
Diese allgemeinere Definition stimmt in dem Spezialfall, dass P die Potenzmenge einer Menge X ist, mit der zuerst gegebenen überein.
Mit Hilfe des Zornschen Lemmas kann man zeigen, dass jeder Filter in einem Ultrafilter enthalten ist.
[Bearbeiten] Literatur
- Boto v. Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. Auflage. Springer, Berlin 2001, ISBN 3540677909
