Wieferich-Primzahl

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Eine Wieferich-Primzahl ist eine Primzahl p mit der Eigenschaft, dass 2^p−1 − 1 durch p² teilbar ist.

Alternativ kann man dies auch als Kongruenz schreiben:

Inhaltsverzeichnis 1 Bekannte Wieferich-Primzahlen 2 Namensgebung 3 Verwandtschaft mit dem großen Fermatschen Satz 4 Eigenschaften von Wieferich-Primzahlen 5 Literatur

[Bearbeiten] Bekannte Wieferich-Primzahlen

Man kennt bisher nur 2 Wieferich-Primzahlen, nämlich 1093 (gefunden im Jahr 1913 von W. Meissner) und 3511 (gefunden im Jahr 1922 von N. G. W. H. Beeger). Mit Computerhilfe hat man bis Juni 2003 alle Zahlen bis 1,25 · 10¹⁵ untersucht. Weitere Wieferich-Primzahlen fand man dabei nicht.

[Bearbeiten] Namensgebung

Benannt sind diese Primzahlen nach dem deutschen Mathematiker Arthur Wieferich.

[Bearbeiten] Verwandtschaft mit dem großen Fermatschen Satz

Wieferich beschäftigte sich mit dem großen Fermatschen Satz. 1909 veröffentlichte er als Ergebnis den folgenden Satz:

Voraussetzung:
Sei x^p + y^p + z^p = 0 wobei x,y,z ganze Zahlen sind und p eine ungerade Primzahl ist. Weiterhin sei das Produkt x·y·z nicht teilbar durch p.
Behauptung:
p ist eine Wieferich-Primzahl, d.h. a^p-1 - 1 ist teilbar durch p² mit a = 2.

1910 zeigte der Mathematiker Mirimanoff, dass dieser Satz auch für a = 3 gilt.

Inzwischen weiß man, dass es keine Primzahlen gibt, die die Voraussetzungen des Satzes erfüllen.

[Bearbeiten] Eigenschaften von Wieferich-Primzahlen

• Es ist nicht bekannt, ob es unendlich viele Wieferich-Primzahlen gibt. Man vermutet, dass dies nicht der Fall ist.
• Aus der Wieferich-Primzahl w kann die Zahl M_n = M_w-1 = 2^w-1 -1 = x*w² konstruiert werden.

n = w-1 ist somit nicht prim, und M_n keine Mersenne-Primzahl.

• Offen ist die Frage, ob es Mersenne-Primzahlen M_p < M_w-1 gibt, die durch w² teilbar sind. Dabei muss p ein Teiler von w-1 sein, wenn M_p durch w teilbar sein soll.

Dieser Sachverhalt kann mit gruppentheoretischen Begriffen ausgedrückt werden:

Da w-1 nicht prim ist, handelt es sich bei 2^w-1-1 nicht um eine Mersennesche Zahl. Es müsste also eine Mersennesche Zahl 2^p-1 mit p=(w-1)/x geben, die durch w² teilbar ist; d.h. dass die Länge g(w) der multiplikativen zyklischen Subgruppe von w zur Basis 2 prim sein müsste.

Es sind aber empirisch die Gruppenordnungen der einzigen bekannten Wieferichprimzahlen g(1093) = 364 = 4*7*13 und g(3511)=1755 = 3³*5*13 nicht prim.

Dass Mersenne-Zahlen quadratfrei sind, scheint bisher nur ein empirisches Resultat zu sein. Mathworld formuliert bspw. "Alle bekannten Mersenne Zahlen 2^p - 1 sind quadratfrei. Allerdings vermutet GUY (1994), dass es Mersenne-Zahlen gibt, die nicht quadratfrei sind". Näheres hierzu siehe: http://mathworld.wolfram.com/MersenneNumber.html

• Unterschied zu anderen Basen als 2: für andere Basen als 2 und die entsprechenden Äquivalente zu Mersenne- und Wieferichzahlen trifft dies nicht zu.

Bspw. ist zur Basis 3 mit (3⁵ - 1)/(3-1) = 11² die Bedingung w² teilt 3^p-1 (w,p prim) erfüllt.

Zur Basis 2819 tritt w=19 bei 2819³ - 1 = x*19⁴ das Wieferich-analog w=19 sogar zur Potenz 4 auf. Die quadratfreiheit von Mersenne-Zahlen (zur Basis 2) muss demnach eine besondere Eigenschaft der Basis 2 (und möglicherweise weiterer Basen) sein, falls sie generell zutreffen sollte.

• Für eine Wieferich-Primzahl p gilt:

• Mit 2ⁿ = 1 (mod p) tritt stets gleichzeitig 2ⁿ = 1 (mod p²) auf.

[Bearbeiten] Literatur

• A. Wieferich: Zum letzten Fermat'schen Theorem. Journal für Reine Angewandte Math., 136 (1909) 293-302
• J. H. Silverman: Wieferich's criterion and the abc-conjecture. Journal Number Theory, 30:2 (1988) 226-237.