Wiener-Filter

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Das Wiener-Filter ist ein Filter zur Signalverarbeitung, entwickelt von Norbert Wiener in den 1940ern und publiziert 1949^[1]. Es führt eine optimale Rauschunterdrückung durch.

Inhaltsverzeichnis

1 Eigenschaften
2 Modelleigenschaften
3 Stationäre Lösungen
- 3.1 Antikausale Lösung
- 3.2 Kausale Lösung
4 Siehe auch
5 Referenzen

[Bearbeiten] Eigenschaften

Wiener-Filter werden durch die folgenden Eigenschaften beschrieben ^[2]:

Voraussetzung: Das Signal und das additive Rauschen gleichen stochastischen Prozessen mit bekannter Spektralverteilung oder bekannter Autokorrelation und Kreuzkorrelation
Fehlerkriterium: Minimale quadratische Abweichung
Ein optimaler Filter lässt sich mit Hilfe skalarer Methoden finden

[Bearbeiten] Modelleigenschaften

Als Eingangssignal des Wiener-Filters wird ein Signal $s\left(t\right)$ gestört durch ein additives Rauschen $n\left(t\right)$ vorausgesetzt. Das Ausgangssignal $x\left(t\right)$ ergibt sich durch die Faltung mit der Filterfunktion $g\left(\tau\right)$ :

$x(t) = g(\tau) * \left(s(t) + n(t)\right)$

Fehler $e(t) = s\left(t + d\right) - x(t)$ und quadratische Fehler $e^2(t) = s^2\left(t + d\right) - 2s(t + d)x(t) + x^2(t)$ ergeben sich aus der Abweichung des Ausgangssignals vom zeitversetzten Eingangssignal $s\left(t + d\right)$ . Abhängig von dem Wert d des Zeitversatzes können unterschiedliche Problemstellungen betrachtet werden:

Für $\left.d > 0\right.$ : Prädiktion
Für $\left.d = 0\right.$ : Filterung
Für $\left.d < 0\right.$ : Glättung

Stellt man $x\left(t\right)$ als Faltungsintegral dar:

$x(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty}{g(\tau)\left[s(t - \tau) + n(t - \tau)\right]d\tau}$ ,

so ergibt sich der Erwartungswert des quadratischen Fehlers zu:

$E(e^2) = R_s(0) - 2\int\limits_{-\infty}^{\infty}{g(\tau)R_{x\,s}(\tau + d)d\tau} + \int\limits_{-\infty}^{\infty}{\int\limits_{-\infty}^{\infty}{g(\tau)g(\theta)R_x(\tau - \theta)d\tau}d\theta}$

wobei

$\,\!R_s$ die Autokorrelation der Funktion $\left.s(t)\right.$
$\,\!R_x$ die Autokorrelation der Funktion $\left.x(t)\right.$
$R_{x\,s}$ die Kreuzkorrelation der Funktionen $\left.x(t)\right.$ und $\left.s(t)\right.$ sind

Wenn das Signal $s\left(t\right)$ und das Rauschen $n\left(t\right)$ unkorreliert sind (und damit die Kreuzkorrelation gleich Null ist) ergeben sich folgende Vereinfachungen

$R_{x\,s} = R_s$
$\,\!R_x = R_s + R_n$

Das Ziel ist es nun, $\left.E(e^2)\right.$ durch Bestimmung eines optimalen $g\left(t\right)$ zu minimieren.

[Bearbeiten] Stationäre Lösungen

Das Wiener-Filter hat jeweils eine Lösung für den kausalen und den antikausalen Fall.

[Bearbeiten] Antikausale Lösung

$G(s) = \frac{S_{x,s}(s)e^{\alpha s}}{S_x(s)}$

Unter der Voraussetzung, dass $g\left(t\right)$ optimal ist, vereinfacht sich die MMSE Gleichung zu

$E(e^2) = R_s(0) - \int\limits_{-\infty}^{\infty}{g(\tau)R_{x,s}(\tau + d)d\tau}$ .

Die Lösung $g\left(t\right)$ ist die inverse beidseitige Laplacetransformation von $\left.G(s)\right.$ .

[Bearbeiten] Kausale Lösung

$G(s) = \frac{H(s)}{S_x^{+}(s)}$

Wobei

$\left.H(s)\right.$ die positive Lösung der inversen Laplace Transformation von $\frac{S_{x,s}(s)e^{\alpha s}}{S_x^{-}(s)}$ ,
$S_x^{+}(s)$ die positive Lösung der inversen Laplace Transformation von $\left.S_{x}(s)\right.$ und
$S_x^{-}(s)$ die negative Lösung der inversen Laplace Transformation von $\left.S_x(s)\right.$ ist.

[Bearbeiten] Siehe auch

Kalman-Filter

[Bearbeiten] Referenzen

↑ Wiener, Norbert (1949), Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series. New York: Wiley. ISBN 0-262-73005-7
↑ Brown, Robert Grover and Patrick Y.C. Hwang (1996) Introduction to Random Signals and Applied Kalman Filtering. 3 ed. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-12839-2

Von „http://de.wikipedia.org../../../w/i/e/Wiener-Filter_54e9.html“

Kategorien: Digitale Signalverarbeitung | Filter (Elektrotechnik)