Zustandsgleichung von Birch-Murnaghan

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Die Zustandsgleichung nach Birch-Murnaghan beschreibt die Beziehung zwischen dem Volumen V eines Festkörpers und des auf ihn wirkenden äußeren hydrostatischen Drucks p. Diese Zustandsgleichung ist von zwei Parametern abhängig, dem Kompressionsmodul bei einem Druck von 0 GPa $K 0$ , und der ersten Ableitung des Kompressionsmoduls nach dem Druck bei einem Druck von 0 GPa, $K 0'$ . Diese sind wie folgt definiert:

$K_0=V\frac{\partial p}{\partial V}|_{p=0GPa}$

$K_0'=\frac{\partial K}{\partial p}|_{p=0GPa}$

Murnaghan ging davon aus, dass der Kompressionsmodul eines Festkörpers $K 0$ linear mit dem auf ihn wirkenden Druck zunimmt.

K (p) = K 0 + p K 0'

Nach Integration erhält man die Zustandsgleichung nach Murnaghan

$p= \frac{K_0}{K_0'}[(\frac{V}{V_0})^{K_0'}-1]$

bzw.

$\frac{V}{V_0}= [\frac{K_0'}{K_0}p+1]^{-\frac{1}{K_0'}}$

wobei $V 0$ das Volumen des Festkörpers bei einem Druck von 0 GPa ist.

Einen anderen Weg, das Verhalten von kondensierter Materie unter Druck zu beschreiben, wurde von Birch eingeschlagen. Er ging davon aus, dass nach den Maxwell-Relationen ein Zusammenhang zwischen dem Druck p und der freien Energie F besteht:

$p = (\frac{\partial F}{\partial V})_T$

Birch stellte die freie Energie eines Festkörpers als Reihenentwicklung dar:

$F = \sum_{n=1}^{\infty} a_n\epsilon^n$

Hier sind $a n$ druckabhängige Koeffizienten, $ε n$ ist die sog. Eulersche Dehnung.

$\epsilon=\frac{1}{2}[1-(\frac{V}{V_0})^{-\frac{2}{3}}]$

Nach einer Reihenentwicklung, deren Darstellung in diesem Rahmen zu weit führen würde, erhält man dann die Zustandsgleichung nach Birch:

$p = \frac{3}{2}K_0[(\frac{V}{V_0})^{-\frac{7}{3}}+(\frac{V}{V_0})^{-\frac{5}{3}}][1+\frac{3}{4}(K_0'-4)[(\frac{V}{V_0})^{-\frac{2}{3}}-1]]$

Es hat sich mittlerweilen eingebürgert, diese Gleichung als Zustandsgleichung nach Birch-Murnaghan zu bezeichnen, auch wenn der Ansatz von Birch mit dem Ansatz von Murnaghan nichts gemein hat.

[Bearbeiten] Literatur

F. Birch: Finite elastic strains of cubic crystals, Phys. Rev. 71, 809 (1947)
B. Buras and L. Gerward: Application of X-ray energy dispersive diffraction for characterisation of materials under high pressure, Prog. Cryst. Growth and Characterisation 18, 93 (1989)

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Kategorien: Festkörperphysik | Zustandsgleichung

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