Ιδεώδες (μαθηματικά)

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Πίνακας περιεχομένων

1 Ορισμός
2 Μεγιστικό ιδεώδες
3 Πρώτο Ιδεώδες
4 Παραδείγματα

[Επεξεργασία] Ορισμός

Έστω $(\mathcal{R},+,\cdot$ ) δακτύλιος και $I$ ένα μη κενό υποσύνολο αυτου.Το $I$ θα ονομάζεται ιδεώδες (Ιdeal) του R και θα συμβολίζoυμε ως $I \triangleleft \mathcal{R}$ ,αν ισχύουν τα εξής:

$a-b \in I$ για κάθε $a,b \in I$

$r\cdot a \in I$ για κάθε $r\in \mathcal{R},a \in I$

[Επεξεργασία] Μεγιστικό ιδεώδες

Έστω $(\mathcal{R},+,\cdot$ ) δακτύλιος και $M \ne \mathcal{R}$ ιδεώδες αυτού.Το Μ καλείται μεγιστικό ιδεώδες (maximal ideal) αν για κάθε $I \triangleleft R$ με $M \subset I \subset \mathcal{R}$ έπεται ότι $I = M$ ή $I=\mathcal{R}$ .

[Επεξεργασία] Πρώτο Ιδεώδες

Έστω $(\mathcal{R},+,\cdot$ ) δακτύλιος και $\mathcal{P} \ne \mathcal{R}$ ιδεώδες αυτού.Το $\mathcal{P}$ θα καλείται πρώτο ιδεώδες (prime ideal) αν ικανοποιεί την εξής ιδιότητα:

Αν $a,b \in \mathcal{P}$ τότε είτε $a \in \mathcal{P}$ είτε $b \in \mathcal{P}$ .

[Επεξεργασία] Παραδείγματα

Έστω R δακτύλιος.Τότε δύο ιδεώδη αυτού είναι ο εαυτός του καθώς επίσης και το μονοσύνολο ${0 R}$

Έστω $F:R \rightarrow S$ ένας ομομορφισμός δακτυλίων.Τότε ο πυρήνας αυτού είναι ένα ιδεώδες.

Το σύνολο $\{ra;r \in R \}$ είναι ένα ιδεώδες του $R$ που περιέχει το $a$ .Το ιδεώδες αυτό καλείται κύριο (principal ideal) και συμβολίζεται με $< a >$ .