Πιθανότητα

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Θεωρία Πιθανοτήτων είναι η μαθηματική μελέτη της πιθανότητας.

Oι πιθανότητες ανατίθενται σε γεγονότα που μπορεί να συμβούν ή όχι με κάποιο τυχαίο τρόπο. Οι πιθανότητες $P (E)$ ανατίθενται στα γεγονότα $E$ . Οι πιθανότητες είναι κανονικοποιημένες και παίρνουν τιμές στο διάστημα από 0 μέχρι 1.

Δυο βασικές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων είναι η τυχαία μεταβλητή και η συνάρτηση κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής.

Πίνακας περιεχομένων

1 Κλασική πιθανότητα
- 1.1 Βασικές έννοιες
  - 1.1.1 Παράδειγμα
- 1.2 Ορισμός
  - 1.2.1 Παράδειγμα
2 Μέτρο πιθανότητας
- 2.1 Ορισμός
- 2.2 Ιδιότητες
3 Δεσμευμένη πιθανότητα

[Επεξεργασία] Κλασική πιθανότητα

Η εννοία της πιθανότητας οριστηκε αρχικώς, για να περιγράψει το αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης, όπως π.χ. η ρίψη ενός ζαριού ή νομίσματος.

[Επεξεργασία] Βασικές έννοιες

Απλό ενδεχόμενο ονομάζεται ένα δυνατό αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης και συνήθως συμβολίζεται με $\,\omega$ .
Δειγματοχώρος $\Omega\,$ είναι το σύνολο όλων των απλών ενδεχομένων. Για ένα απλό ενδεχόμενο $\,\omega$ ισχύει $\,\omega\in\Omega$ .
Γεγονός $A\,$ είναι ένα σύνολο δυνατών αποτελεσμάτων. Ένα γεγονός έχει ως στοιχεία απλά ενδεχόμενα και είναι υποσύνολο του $\Omega,\,$ $A \sub\Omega\,$ . To $\Omega\,$ είναι το ίδιο ένα γεγενος και ονομαζεται βέβαιο γεγονός.

[Επεξεργασία] Παράδειγμα

Θεώρουμε ως πείραμα τύχης την ρίψη ενός ζαριού. Σε αυτή την περίπτωση έχοyμε έξι απλά ενδεχόμενα. 'Εστω $\,\omega_1$ το ενδεχόμενο να φέρουμε 1 και αντιστοίχως τα $\,\omega_i, i=2,\dots,6$ . Ο δειγματοχώρος ειναι ο $\,\Omega=\{\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4, \omega_5, \omega_6\}$ ή για λόγους απλότητας $\,\Omega=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ . Το γεγονός $A\,$ να φέρουμε ζυγό αριθμό είναι (με τον απλοποιημένο συμβολισμό) $\,A=\{2, 4, 6\}$ . Το γεγονός $B\,$ να φέρουμε αριθμό μικρότερο ή ίσο του 2 είναι $\,B=\{1, 2\}$ .

[Επεξεργασία] Ορισμός

Η κλασική πιθανότητα ορίζεται σε πειράματα τύχης, όπου το πλήθος των απλών ενδεχομένων είναι πεπερασμένο και όλα τα απλά ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα. Σε αυτή την περίπτωση πιθανότητα ενός γεγονότος Α ονομάζεται το πηλίκο του πλήθους των ευνοϊκών αποτελεσμάτων ως προς το πλήθος των δυνατών αποτελεσμάτων.

$P(A)=\frac{\#A}{\#\Omega}$

[Επεξεργασία] Παράδειγμα

Συνεχίζοντας το παραπάνω παράδειγμα έχουμε

$P(A)=\frac{\#A}{\#\Omega}=\frac{\#\{2, 4, 6\}}{\#\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}}=\frac36=0,5$

$P(B)=\frac{\#B}{\#\Omega}=\frac{\#\{1,2\}}{\#\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}}=\frac26=0,333$

[Επεξεργασία] Μέτρο πιθανότητας

Η αξιωματική θεμελίωση των πιθανοτήτων προήλθε από τον Ρώσο μαθηματικό Αντρέι Κολμογκόροβ (Andrey Kolmogorov).

[Επεξεργασία] Ορισμός

Έστω ένα σύνολο $Ω$ και μία σ-άλγεβρά του $\mathcal{F}$ . Πιθανότητα $P\,$ ονομάζεται η συνάρτηση $P:\mathcal{F}\to \R$ που ικανοποιεί:

$P(A)\geq 0, \;\forall A\in\mathcal{F}$
$P(\Omega)=1\,$
$P(\cup_{i\in I}A_i)=\sum_{i\in I}P(A_i)\quad \forall \{A_i\}_{i\in I}\sub\mathcal{F}, I\sub\N:A_i\cap A_j=\emptyset \;\forall i\neq j$

Η πιθανότητα είναι ένα μέτρο στον $(\Omega, \mathcal{F})$ με την ιδιότητα $P(\Omega)=1\,$ .

Αν στην πιθανότητα $P\,$ αντιστοιχεί μία συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f, τοτέ η πιθανότητα του Α υπολογίζεται ως:

$P(A)=\int_Af(x)dx\;$

[Επεξεργασία] Ιδιότητες

$P(\Omega\backslash A) = 1-P(A)$
$P(\emptyset) = 0$
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .

[Επεξεργασία] Δεσμευμένη πιθανότητα

Η πιθανότητα ότι ένα γεγονός $E$ συμβαίνει με δεδομένο ότι έχει συμβεί ένα γεγονός $F$ είναι η δεσμευμένη πιθανότητα του $E$ με δεδομένο το $F$ η οποία ορίζεται, μόνο αν το $F$ δεν είναι αδύνατο γεγονός $(P (F) > 0)$ , ως:

$P(E|F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)}$ .

Αν η δεσμευμένη πιθανότητα του $E$ με δεδομένο το $F$ είναι ίδια με τη ("αδέσμευτη") πιθανότητα του $E$ , τότε τα $E$ και $F$ είναι ανεξάρτητα γεγονότα και ισχύει $P(E \cap F)=P(E)\cdot P(F)$ .

H δεσμευμένη πιθανότητα $P(\cdot|F)=:Q(\cdot)$ ορίζει ένα μέτρο πιθανότητας στον $(F,\mathcal{F}_F)$ , όπου $\mathcal{F}_F=\cup_{A\in\mathcal{F}}(A\cap F)$ , αφού ικανοποιεί τα αξιώματα του ορισμού.