Σφάλμα σφαιρικής εκτροπής

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Το σφάλμα σφαιρικής εκτροπής (spherical aberration) εμφανίζεται από σφαιρικούς φακούς, κάτοπτρα κατά την απεικόνιση σημείου που βρίσκεται πάνω στον κύριο άξονα, σε πεπερασμένη ή άπειρη απόσταση, όταν το άνοιγμα του φακού / κατόπτρου (lens aperture) είναι μεγάλο. Η σφαιρική εκτροπή συνίσταται στο ότι το σημείο εστίασης των περιφερειακών (μη αξονικών) ακτίνων της δέσμης, δεν συμπίπτει με το σημείο εστίασης των κεντρικών (αξονικών) ακτίνων, αλλά είναι μετατοπισμένο κατά μήκος του άξονα. Για λόγους πρακτικών εφαρμογών μπορούμε να διακρίνουμε δύο είδη σφαιρικής εκτροπής, την αξονική σφαιρική εκτροπή (longitudinal spherical aberration), ΑΣΕ (LSA) και την εγκάρσια σφαιρική εκτροπή (transverse spherical aberration), ΕΣΕ (TSA), οι οποίες είναι αλληλένδετες. Στο πιο κάτω σχήμα φαίνεται η άμεση σχέση των δύο σφαλμάτων.

Σχ.1:Σφαιρικό σφάλμα

Το ΑΣΕ δίνεται από τη σχέση

$A\Sigma E=So'-Sh' \,$

όπου είναι η απόσταση του ειδώλου των αξονικών ακτίνων και η απόσταση του ειδώλου των περιφερειακών ακτίνων. Το επίπεδο G που είναι το κάθετο επίπεδο στο οποίο εστιάζουν οι παραξονικές ακτίνες (paraxial rays) ονομάζεται επίπεδο Γκάους (Gaussian surface). Η ΕΣΕ είναι η ακτίνα του κύκλου σύγχυση που παρατηρείται στο επίπεδο αυτό, και δίνεται από τη σχέση

$E\Sigma E=A\Sigma E\cdot \tan\theta \,$

Σε απόσταση, περίπου ίση με τα τρία τέταρτα της τιμής του ΑΣΕ από την αξονική εστία Σ΄, ο κύκλος σύγχυσης έχει τη μικρότερη διάμετρο (β) και ονομάζεται κύκλος ελάχιστης σύγχυσης (circle of least confusion). Η θέση του επιπέδου ελάχιστης σύγχυσης έχει μεγάλη πρακτική σημασία καθώς σε αυτήν θα πρέπει να τοποθετείται το επίπεδο παρατήρησης των ειδώλων. Η τιμή της διαμέτρου του κύκλου ελάχιστης σύγχυσης δίνεται από τη σχέση

Σχ.2: Καυστική καμπύλη και κύκλος ελάχιστης θόλωσης

$\beta=f\cdot \Delta\theta_{blur} \,$

όπου

$\Delta\theta_{blur}=(d_0/f)^3[\frac{n^2-(2n+1)q+(n+2)q^2/n}{32(n-1)^2}]$

με d₀ συμβολίζεται η διάμετρος της δέσμης φωτός, f η εστιακή απόσταση, q ο συντελεστής σχήματος του φακού, n ο δείκτης διάθλασης και f η εστιακή απόσταση. Κατά τη σχεδίαση της απόστασης των ακτίνων από τον κύριο άξονα σε συνάρτηση με την αντίστοιχη εστιακή απόσταση (σχ.2), προκύπτει η καυστική καμπύλη (ray intercept curve) που είναι χαρακτηριστική της σφαιρικής εκτροπής.

Όπως μπορούμε να δούμε από τη πιο πάνω σχέση, η σφαιρική εκτροπή ενός φακού εξαρτάται από το συντελεστή σχήματος αυτού, καθώς ο συντελεστής Δθ_blur σχετίζεται άμεσα με αυτό. Στο σχήμα που ακολουθεί δίνουμε τη μεταβολή της σφαιρικής εκτροπής συναρτήσει του συντελεστή σχήματος για διάφορους δείκτες διάθλασης.

Σχ.3(Σφαιρικό σφάλμα συναρτήσει του συντελεστή σχήματος.)

Από το σχήμα αυτό, φαίνεται ότι η σφαιρική εκτροπή παρουσιάζει ελάχιστο για συγκεκριμένη τιμή του συντελεστή σχήματος των φακών ανάλογα με το δείκτη διάθλασης