Campo gravitatorio

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En física el campo gravitatorio o campo gravitacional es un campo de fuerzas que representa la fuerza gravitatoria. El tratamiento que recibe este campo es diferente según las necesidades del problema:

En física newtoniana o física no-relativista el campo gravitatorio viene dado por un campo vectorial.
En física relativista, el campo gravitatorio viene dado por un campo tensorial de segundo orden.

Tabla de contenidos

1 Campo gravitatorio en física newtoniana (no-relativista)
- 1.1 Ejemplos de campos gravitatorios
- 1.2 Potencial gravitatorio
2 Campo gravitatorio en física relativista
- 2.1 Calculo relativista de la fuerza aparente
3 Véase también

[editar] Campo gravitatorio en física newtoniana (no-relativista)

En física newtoniana, el campo gravitatorio es un campo vectorial conservativo cuyas líneas de campo son abiertas. Puede definirse como la fuerza por unidad de masa que experimentará una partícula puntual situada ante la presencia de una distribución de masa. Sus unidades son, por lo tanto, las de una aceleración, m s^-2. Matemáticamente se puede definir el campo como,

$\mathbf{F} = m \mathbf{g}$

Donde $\mathbf{F}$ es la fuerza de gravedad experimentada por la partícula de masa $m$ en presencia de un campo $\mathbf{g}$ .

[editar] Ejemplos de campos gravitatorios

El campo $\mathbf{g}$ para una distribución de masa esférica y central fuera de la esfera es un vector de módulo g, dirección radial y que apunta hacia la partícula que crea el campo.

$g = \frac{GM}{r^2} \qquad (1)$ ,

donde r es la distancia radial al centro de la distribución. En el interior de la esfera central el campo varía según una ley dependiente de la distribución de masa (para una esfera uniforme, crece linealmente desde el centro hasta el radio exterior de la esfera). La ecuación (1) por tanto sólo es válida a partir de la superficie exterior que limita el cuerpo que provoca el campo, punto a partir del cual el campo decrece según la ley de la inversa del cuadrado. El campo $\mathbf{g}$ creado por una distribución de masa totalmente general en un punto del espacio $\mathbf{x}$ :

$\mathbf{g}(\mathbf{x}) = \int_V \frac{G\rho(\mathbf{\bar{x}})}{||\mathbf{x}-\mathbf{\bar{x}}||^2} d^3\mathbf{\bar{x}}$ ,

El interés de realizar una descripción de la interacción gravitatoria por medio de un campo radica en la posibilidad de poder expresar la interacción gravitacional como el producto de dos términos, uno que depende del valor local del campo $\mathbf{g}$ y otro, una propiedad escalar que representa la respuesta del objeto que sufre la acción del campo. Ejemplo: el movimiento de un planeta se puede describir como el movimiento orbital del planeta en presencia de un campo gravitatorio creado por el Sol. Los campos gravitatorios son aditivos. Es decir el campo gravitatorio creado por una distribución de masa es igual a la suma de los campos creados por sus diferentes elementos. El campo gravitatorio del sistema solar es el creado por el Sol, Júpiter y los demás planetas.

[editar] Potencial gravitatorio

La naturaleza conservativa del campo permite definir una energía potencial gravitatoria tal que la suma de la energía potencial y energía cinética del sistema es una cantidad constante. Así a cada punto del espacio podemos asignar un potencial Φ gravitatorio relacionado con la densidad de la distribición de masa y con el vector de campo gravitorio por:

$\Delta \Phi = 4\pi \rho \,$

$\vec{\nabla} \Phi = \vec{g}$

[editar] Campo gravitatorio en física relativista

Artículo principal: Teoría general de la relatividad

En la teoría de la relatividad general el campo gravitatorio no se describe como un campo de fuerzas, sino que las trayectorias curvas que los cuerpos siguen en el espacio tridimensional, son sólo un reflejo de que el espacio-tiempo es curvo. Realmente de acuerdo con la teoría de la relatividad general una partícula puntual en un campo gravitatorio, está siguiendo una línea de mínima curvatura, llamada geodésica, sobre un espacio-tiempo curvo, por tanto la curvatura de las trayectorias tridimensionales se debe a que la línea más recta posible en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones no se proyecta como una recta, vista desde el espacio tridimensional.

El campo gravitatorio se interpreta en relatividad, ni más ni menos que como la curvatura del espacio-tiempo que en presencia de materia deja de ser plano. Allí donde el espacio-tiempo no es plano percibimos campo gravitatorio y allí donde percibimos campo gravitatorio tenemos una geometría curva del espacio-tiempo. Así la teoría relativista de Einstein del campo gravitatorio no es otra cosa que una teoría de la estructura geométrica local del espacio-tiempo.

La "fuerza de la gravedad" newtoniana es sólo un efecto asociado al hecho de que un observador en reposo respecto a la fuente del campo no es un observdor inercial y por tanto al tratar de aplicar el equivalente relativista de las leyes de Newton mide fuerzas ficticias dadas por los símbolos de Christoffel de la métrica del espacio tiempo. A continuación calculamos el valor de esa fuerza ficticias a partir de la ecuación de las geodésicas para un campo gravitatorio creado por un estrella con simetría esférica.

[editar] Calculo relativista de la fuerza aparente

En presencia de una masa esférica el espacio-tiempo no es plano sino curvo, y el tensor métrico g que sirve para calcular las distancias viene dado en coordenadas (t,r,θ,φ), llamada métrica de Schwarschild:

$g = -c^2 \left(1-\frac{2GM}{c^2 r} \right) \mathrm{d}t\otimes\mathrm{d}t + \left(1-\frac{2GM}{c^2 r}\right)^{-1}\mathrm{d}r\otimes\mathrm{d}r + r^2 \left(\mathrm{d}\theta\otimes\mathrm{d}\theta + \sin^2\theta \ \mathrm{d}\varphi\otimes\mathrm{d}\varphi \right)$

Donde G es la constante de gravitación universal, M es la masa de la estrella, y c es la velocidad de la luz. La ecuación de las geodésicas dará la ecuación de las trayectorias en el espacio-tiempo curvo, si consideramos una partícula en reposo respecto a la masa gravitatoria que crea el campo se tiene que, esta seguirá una trayectoria dada por las ecuaciones:

$\begin{cases} \cfrac{d^2 r}{d\tau^2} = +\cfrac{GM}{(c^2r-2GM)r}\left(\cfrac{dr}{d\tau}\right)^2 -\left(r-\cfrac{2GM}{c^2}\right)\cfrac{GM}{r^3}\left(\cfrac{dt}{d\tau}\right)^2 \\ \\ \cfrac{d^2 t}{d\tau^2} = -2\cfrac{GM}{(c^2r-2GM)r}\left(\cfrac{dr}{d\tau}\right)\left(\cfrac{dt}{d\tau}\right) \end{cases}$

La primera de estas ecuaciones da el cambio de la coordenada radial, y la segunda da la dilatación del tiempo respecto a un observador inercial, situado a una distancia muy grande respecto a la masa que crea el campo. Si particularizamos esas ecuaciones para el instante inicial en que la partícula está en reposo y empieza a morverse desde la posición inicial, llegamos a que la fuerza aparente que mediría un observador en reposo viene dada por:

$\cfrac{d^2 r}{d\tau^2} = -\left(r-\cfrac{2GM}{c^2}\right)\cfrac{GM}{r^3}\left(\cfrac{dt}{d\tau}\right)^2 = -\cfrac{GM}{r^2}\left[\left(1-\cfrac{2GM}{c^2r}\right)\left(\cfrac{dt}{d\tau}\right)^2\right]= -\cfrac{GM}{r^2}$

Expresión que coincide con la de la teoría newtoniana una vez tenemos en cuenta que la dilatación del tiempo gravitatoria para un observador dentro de un campo gravitatorio y en reposo respecto a la fuente del campo viene dado por:

$\left(\cfrac{dt}{d\tau}\right)^2 = \left[ 1-\cfrac{2GM}{c^r} \right]^{-1}$