Contrarrecíproco
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En el desarrollo de la teoría de las leyes lógicas se observa algo curioso. Las tablas de verdad de ciertas proposiciones son iguales. De este modo, estas equivalencias se pueden cambiar la una por la otra indistintamente. Las proposiciones con iguales tablas de verdad se llaman proposiciones lógicamente equivalentes. Un ejemplo es el siguiente: sea la proposición está lloviendo. Esta proposición puede ser verdadera o falsa. Pues la tabla de verdad de esta proposición es la misma que la de la proposición es falso que no esté lloviendo. Si pensamos un poco, al decir que es falso que llueva, decimos que está lloviendo, por tanto, nos referimos a nuestra primera proposición. Entonces las proposiciones está lloviendo y es falso que esté lloviendo son equivalentemente lógicas.
Ahora fijémonos en otro tipo de equivalencia lógica, el contrarrecíproco. El contrarrecíproco viene a decirnos lo siguiente: sean a y b dos proposiciones cualesquiera, si a implica b, entonces, lo contrario de b implica lo contrario de a. Dejamos como ejercicio al/a la lector/a interesado/a la demostración de esta ley lógica. Esto simbólicamente, sería algo como: a→b es equivalente a contrario de b→contrario de a.
Apliquemos esta equivalencia lógica a dos proposiciones cualesquiera, por ejemplo: se considera que el conjunto de los números naturales es el formado por los números 1, 2, 3, 4,.... En este conjunto, el cero está excluido. Ahora bien, nos hacen la siguiente proposición: si el número a no es natural, entonces el número a puede ser 0, y piden demostrarla, pudiendo usar el dato aportado anteriormente sobre el conjunto de lso números naturales. Pues bien, por el contrarrecíproco, demostrar la anterior implicación, es lo mismo que demostrar la implicación si el número a no puede ser cero, entonces el número a no es natural. Independientemente de si la proposición es verdadera o falsa, demostrar una de ellas, es lo mismo que demostrar la otra.
El contrarrecíproco se usa a menudo en matemáticas para demostrar proposiciones, las cuales no pueden demostarse de forma directa, o es muy difícil.
