Convergencia

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Este articulo se refiere una propiedad de análisis matemático, para otros usos ver Convergencia (desambiguación).

En el análisis matemático, la convergencia es la propiedad de algunas sucesiones y series de tender progresivamente a un límite. Entonces, acertar la convergencia de una sucesión significa que hay un límite para tal sucesión.

Tabla de contenidos

1 Definición
2 Tipos de convergencia
- 2.1 El criterio de convergencia de Cauchy
3 Convergencia de una serie

[editar] Definición

Dada una sucesión ${a n}$ , se dice que $f$ es convergente, o que tiene la propiedad de convergencia, si, y sólo si, para todo número $ε$ mayor que cero, existe otro número $N$ tal que cuando $n$ es mayor que o igual a $N$ , la diferencia entre el término $a n$ y el límite es menor que $ε$ . En notación matemática, una función es convergente si y sólo si

$\forall\epsilon > 0 \quad \exists N > 0 \quad |\quad \forall\quad n \geq N \quad \Rightarrow \quad | a - a_n | < \epsilon$

[editar] Tipos de convergencia

Los varios tipos de convergencia se obtiene principalmente por hacer modificaciones menores en la definición básica. He aquí los tipos de convergencia más comunes: (Las diferencias entre sus definiciones y la definición básica se marca en cursiva.)

[editar] El criterio de convergencia de Cauchy

Dada una sucesión ${a n}$ , se dice que $f$ es convergente en el sentido de Cauchy, si, y sólo si, para todo número $ε$ mayor que cero, existe otro número $N$ tal que para todo $n$ y $m$ mayor o igual que $N$ , la diferencia entre el término $a n$ y el término $a m$ es menor que $ε$ . En notación matemática, una función es convergente en el sentido de Cauchy si y sólo si

$\forall\epsilon > 0 \quad \exists N > 0 \quad |\quad \forall\quad n,m \geq N \quad \Rightarrow \quad | a_m - a_n | < \epsilon$