Crecimiento exponencial

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Comparación entre el crecimiento lineal (rojo), crecimiento potencial (azul) y crecimiento exponencial (verde)

El término crecimiento exponencial se aplica generalmente a una magnitud M que crece con el tiempo de acuerdo con la ecuación:

$M_t = M_0 \cdot e^{rt} \,$

Donde:

- M_t es valor de la magnitud en el instante t>0;

- M₀ es el valor inicial en el que empezamos a medir la variable;

- r es la llamada tasa de crecimiento instantánea;

- e = 2,718281828459...

El nombre naturalmente se refiere al crecimiento de una función exponencial de la forma $y = a x$ con $r = l n (a)$ . Se puede ilustrar el crecimiento exponencial tomando en la última ecuación a = 2 y x un valor entero. Por ejemplo si x = 4, y es y = 2x2x2x2 = 16. Si x = 10 entonces y = 1024. Y así sucesivamente.

[editar] Fenómenos con crecimiento exponencial

El número de células de un feto mientras se desarrolla en el útero materno.
En una economía sin trastornos, los precios crecen exponencialmente, donde la tasa coincide con el índice de inflación.
El número de contraseñas posibles con n dígitos crece exponencialmente con n.

[editar] Ecuaciones diferenciales

[editar] Catástrofe malthusiana

La catástrofe malthusiana debe su nombre al demógrafo y economista político conservador Thomas Robert Malthus y la visión pesimista del crecimiento de población expuesta en su obra Ensayo sobre el principio de la población. Las tesis de Malthus aunque desajustadas a los hechos, tuvieron gran influencia política. Malthus llegó a afirmar que el crecimiento de la población libre de contenciones era un crecimiento exponencial, mientras que la producción de alimentos según su argumento era un crecimiento lineal. Puesto que la tasa de crecimiento de la población era más acelerada que la de alimentos a partir de un cierto umbral de población, Malthus pronosticó que habría una escasez de alimentos y una gran hambruna hacia mediados del siglo XIX. La gran hambruna predicha por Malthus jamás se produjo mostrando que los presupuestos lógicos de Malthus eran simplistas y en ocasiones hasta erróneos.

Expresado en ecuaciones diferenciales el argumento de Malthus era el siguiente. Si P(t) es la población en el año t y A(t) la cantidad total de alimentos las hipótesis de crecimiento lineal y exponencial son:

$\frac{dP(t)}{dt} = r P(t) \qquad (1)$

$\frac{dA(t)}{dt} = k A_0 \qquad (2)$

Supongamos que la población inicial es P₀, A₀ la cantidad inicial de alimentos y que la cantidad mínima de alimentos por persona es a_min, entonces si las hipótesis de Malthus hubieran sido correctas para todo instante del tiempo, la cantidad de alimentos por persona se habría reducido hasta ser inferior a la cantidad mínima de alimentos por persona en el instante de la catástrofe malthusiana t_CM:

$a(t) = \frac{A(t)}{P(t)} = \frac{A_0(1+k t)}{P_0 e^{r t}}$

$a(t_{CM}) = a_{min} \Rightarrow \frac{1+k t_{CM}}{e^{r t_{CM}}} \le \frac{a_{min}P_0}{A_0}$

Puede verse que para cualesquiera valores positivos de r, k, A₀, P₀ y a_min existe un instante del tiempo dado por t_CM en el que se produce indefectiblemente la catástrofe malthusiana, si las ecuaciones de evolución (1) y (2) no cambian en todo el proceso.

[editar] Curva logística

Artículo principal: Curva logística

La curva logística es un refinamiento del crecimiento exponencial. Cuando una magnitud crece en un sistema finito, a partir de cierto punto el tamaño finito del sistema limita el crecimiento de la magnitud al no existir recursos abundantes suficientes para seguir permitiendo el crecimiento exponencial. Un caso típico son los ecosistemas biológicos donde ciertas especies basan su supervivencia en altas tasas de reproducción o natalidad(estrategia r). Inicialmente cuando existe un pequeño número de individuos el crecimiento es exponencial, pero a partir de cierto momento el hecho de que los recursos alimentarios del territorio no sean infinitos "satura" el crecimiento. En esos casos el crecimiento de la población P con el tiempo (t) responde a la siguiente ecuación diferencial:

$\frac{dP}{dt}=rP\left(1 - \frac{P}{K}\right) \qquad (3), \!$

donde la constante $r$ define la tasa de crecimiento y $K$ es la capacidad, que está asociada a la saturación del sistema. Cuando P es pequeña esta ecuación se parece a la ecuación (1) del crecimiento exponencial, pero para valores no despreciables frente al valor de K el comportamietno cambia. La solución general a la ecuación (3) es la función logística, usualmente llamada curva logística. La solución general de la ecuación, siendo $P 0$ la población inicial, viene dada por:

$P(t) = \frac{K P_0 e^{rt}}{K + P_0 \left( e^{rt} - 1\right)}$

Donde: $\lim_{t\to\infty} P(t) = K.\,$

[editar] Estragias K y r

La curva logística, ilustra dos estrategias diferentes que presentan las especies biológicas que favorecen su continuidad:

La estrategia r consiste en que una especie aumenta el número de crías por parto.
La estrategia K consiste en que una especie desarrolla capacidades específicas de tal manera que el medio en que vive puede suportar un mayor número de individuos.