Derivada de Lie
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En matemática, una derivada de Lie es una derivación en el álgebra de funciones diferenciables sobre una variedad M. El espacio vectorial de todas las derivadas de Lie en M forma un álgebra de Lie infinito dimensional con respecto al corchete de Lie definido por [A, B] ≡ £AB = -£BA.
Las derivadas de Lie se representan por campos vectoriales, como generadores infinitesimales de flujos (difeomorfismos) en M. De manera inversa, el grupo de difeomorfismos de M tiene la estructura asociada de álgebra de Lie, de las derivadas de Lie, en una manera directamente análoga a la teoría grupo de Lie.
[editar] Derivada de Lie de campos tensoriales
En geometría diferencial, si tenemos un tensor diferenciable T de rango (p, q) (es decir una función lineal de secciones diferenciables, α, β, ... del T*M fibrado cotangente y X, Y, ... del TM fibrado tangente, T(α,β...,X,Y , ...) tales que para cualesquiera funciones diferenciables f1...,fp...,fp+q, T(f1α,f2β...,fp+1X,fp+2Y, ...) = f1f2 ... fp+1fp+2 ... fp+q T(α, β..., X, Y , ...)) y un campo vectorial (sección del fibrado tangente) A diferenciable, entonces la función lineal:(£AT)(α, β, ..., X, Y, ...) ≡ ∇A T(α, β, ..., X, Y, ...) - ∇T(-,β...,X,Y,...)A(α)-... + T(α, β ...,∇XA,Y,...)+... es independiente de la conexión ∇ que se utiliza, mientras sea libre de torsión, y es, de hecho, un tensor. Este tensor se llama la derivada de Lie de T con respecto a A.
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