Descomposición de Schur
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En álgebra lineal, la descomposición de Schur o triangulación de Schur es una importante descomposición de matrices.
[editar] Definición
Si A es una matriz cuadrada sobre números complejos, entonces A puede descomponerse
donde Q es una matriz unitaria, Q* es la traspuesta conjugada de Q, y U es una matriz triangular superior cuyas entradas diagonales son exactamente los autovalores de A.
[editar] Notas
Toda matriz cuadrada tiene una descomposición de Schur, y por lo tanto, toda matriz cuadrada es unitariamente equivalente a una matriz triangular (de hecho, Q*AQ = U). Sin embargo, esta descomposición no es única.
[editar] Construcción de la decomposición de Schur
ALgunos algoritmos en algebra lineal numérica requieren un método para calcular una descomposición de Schur de una matriz. Esto puede hacerse siguiendo el siguiente procedimiento, que además demuestra que una descomposición de Schur es posible.
Dada la matriz A de orden n por n, encuentra un autovalor λ1 de A con el correspondiente autovector v1 de norma 1. Elige n-1 vectores w2, …, wn, tales que el conjunto
sea una base ortonormal para Cn. Si V1 denota la matriz con estos vectores como columnas, entonces
donde A1 es una matriz (n-1) por (n-1).
Ahora repetimos este proceso con A1: esto da una matriz unitaria V2 tal que
donde A2 es una matriz (n- 2) por (n- 2). Por tanto,
Continuando este proceso, uno encuentra las matrices V3, …, Vn. Finalmente, la matriz U = Q*AQ con
es triangular superior, así A = QUQ* es una descomposición de A.
