Espacio euclídeo

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Un espacio euclídeo es un espacio vectorial normado de dimensión finita en que la norma es heredada de un producto escalar.

El espacio euclídeo es el espacio matemático n-dimensional usual , una generalización de los espacios de 2 (plano euclídeo) y 3 dimensiones estudiados por Euclides. Formalmente, para cada número entero no negativo n, el espacio euclídeo n-dimensional es el conjunto

$\mathbb{R}^n$

junto con la función distancia obtenida mediante la siguiente definición de distancia entre dos puntos (x₁, ..., x_n) e (y₁, ...,y_n): la raíz cuadrada de Σ (x_i-y_i)², donde la suma es sobre i = 1, ..., n.

Esta función distancia está basada en el teorema de Pitágoras y es llamada métrica euclídea.

El término "espacio euclídeo n-dimensional" es usualmente abreviado a "n-espacio euclídeo", o sólo "n-espacio". El n-espacio euclídeo se denota por Eⁿ, aunque ℝⁿ es bastante usado (sobreentendiendo la métrica). E² se dice el plano euclídeo.

Tabla de contenidos

1 Estructuras sobre el espacio euclídeo

[editar] Estructuras sobre el espacio euclídeo

Los espacios euclídeos y sus propiedades han servido de base para general gran cantidad de conceptos matemáticos relacionados con la geometría, la topología, el álgebra y el cálculo. Aunque el espacio euclídeo suele ser introducido por razones como espacio vectorial, en realidad sobre él se pueden definir muchas más estructuras. El espacio euclídeo es además de un espacio vectorial un caso de:

Un espacio de Hilbert de dimensión finita, con el producto escalar ordinario.
Un espacio de Banach de dimensión finita, con norma inducida por el producto escalar anterior.
Un espacio métrico completo, con distancia inducida por la norma anterior.
Un espacio topológico, inducido por la métrica euclídea.
Un grupo de Lie, con la operación de adición.
Una álgebra de Lie con el producto vectorial.

[editar] El espacio euclídeo como espacio métrico

Por definición, Eⁿ es un espacio métrico, y es por tanto también un espacio topológico; es el ejemplo prototípico de una n-variedad, y es de hecho una n-variedad diferenciable. Para n ≠ 4, cualquier n-variedad diferenciable que sea homeomorfa a Eⁿ es también difeomorfa a ella. El hecho sorprendente es que esto no es cierto también para n = 4, lo que fue probado por Simon Donaldson en el año 1982; los contraejemplos se llaman 4-espacios exóticos (o falsos).

[editar] El espacio euclídeo como espacio topológico

Se puede decir mucho sobre la topología de Eⁿ, Pero esperaremos a una próxima edición de este artículo. Un resultado importante, el invariancia del dominio de Brouwer, es el de que cualquier subconjunto de Eⁿ que sea homeomorfo a un subconjunto abierto de Eⁿ es en sí mismo abierto. Como consecuencia inmediata de esto se tiene que E^m no es homeomorfo a Eⁿ si m ≠ n -- un resultado intuitivamente "obvio" que sin embargo no es fácil de demostrar.

[editar] El espacio euclídeo como espacio vectorial

El n-espacio euclídeo se puede considerar también como un Espacio vectorial n-dimensional real , de hecho un Espacio de Hilbert, de manera natural. El producto interior, también llamado producto punto, de x = (x₁,...,x_n) e y = (y₁,...,y_n) está dado por