Mediana (estadística)

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==Definición==

Dentro de la rama de medidas de tendencia central en estadística descriptiva, y considerando $x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n$ los datos de una muestra ordenada en orden creciente (de menor a mayor), definiremos como mediana al valor de la variable que deja el mismo número de datos antes y después que él. De acuerdo con esta definición el conjunto de datos menores o iguales que la mediana representarán el 50% de los datos, y los que sean mayores que la mediana representarán el otro 50% del total de datos de la muestra.

Matemáticamente hablando la mediana sería: Me = , si n es impar --> Me será la observación central de los valores, una vez que estos han sido ordenados en orden creciente o decreciente.

Me = , si n es par --> Me será el promedio aritmético de las dos observaciones centrales.

OBSERVACIONES:

- La mediana de un conjunto de datos es única.

- El valor de la mediana no es sensible a la presencia de datos extremos.

UTILIZACIÓN DE MEDIANA

Al tratar con datos agrupados, tendremos en cuenta que si n/2 coincide con el valor de una frecuencia acumulada, tomaremos como valor de la mediana el valor de la abscisa correspondiente. Si no coincide con el valor de ninguna abscisa, tendremos que calcular esa abscisa a través de semejanza de triángulos en el histograma o polígono de frecuencias acumuladas, utilizando la siguiente equivalencia:

Dónde Ni y Ni-1 son las frecuencias absolutas tales que Ni-1< n/2<Ni, ai-1 y ai son los extremos, inferior y superior, del intervalo dónde se alcanza la mediana y Me = ai-1 + p es la abscisa a calcular, la moda. Observamos que (ai – ai-1) es la amplitud de los intervalos seleccionados para el diagrama. Realmente no es necesario realizar el histograma ya que los datos que utilizamos para el cálculo de la mediana aparecen en la tabla de frecuencias.

Tabla de contenidos

1 Ejemplos

[editar] Ejemplos

[editar] Ejemplo (sobre la representatividad)

Supongamos que hay 19 "mendigos" o pobres y un millonario en una habitación. Cada uno pone $5 sobre la mesa pero el millonario aporta un millón. Eso da un total de $1.000.095.

Si el dinero se repartiese por partes iguales, eso daría un promedio (media) de $50.004,75, pero la mediana da $5, ya que si uno divide el grupo en 2, se puede decir que 10 personas aportaron $5 o menos, mientras que las otras 10 personas aportaron $5 o más.

En ese sentido, la mediana representa la cantidad típica que cada persona aportó. En contraste, el promedio es para nada típico, ya que nadie aportó ni cerca de los $50.004.75

[editar] Ejemplo ( N impar )

xi	fi	Fi
1	2	2
2	2	4
3	4	8
4	5	13
5	8	21 > 19.5
6	9	30
7	3	33
8	4	37
9	2	39

Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de 39 alumnos de una clase viene dada por la siguiente tabla (debajo):

Calificaciones	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Número de alumnos	2	2	4	5	8	9	3	4	2

Calculemos la Mediana:

Primero hallamos las frecuencias absolutas acumuladas Fi (ver tabla del margen derecho).

Así, aplicando la formula asociada a la mediana para n impar, obtenemos X(39+1)/2 = X20 y basándonos en la fórmula que hace referencia a las frecuencias absolutas -->

Ni-1< n/2 < Ni = N19 < 19.5 < N20

Por tanto la mediana será el valor de la variable que ocupe el vigésimo lugar. En nuestro ejemplo, 21 (frecuencia absoluta acumulada para Xi = 5) > 19.5 con lo que Me = 5 puntos (es aconsejable no olvidar las unidades; en este caso como estamos hablando de calificaciones, serán puntos)

La mitad de la clase ha obtenido un 5 o menos, y la otra mitad un 5 o más.

[editar] Ejemplo ( N par )

Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de 38 alumnos de una clase viene dada por la siguiente tabla (debajo):

Calificaciones	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Número de alumnos	2	2	4	5	6	9	4	4	2

xi	fi	Fi
1	2	2
2	2	4
3	4	8
4	5	13
5	6	19 = 19
6	9	28
7	4	32
8	4	36
9	2	38

Calculemos la Mediana:

Primero hallamos las frecuencias absolutas acumuladas Fi (ver tabla margen derecho).

Si volvemos a utilizar la fórmula asociada a la mediana para n par, obtenemos X(38/2) = X19 y basándonos en la fórmula que hace referencia a las frecuencias absolutas --> Ni-1< n/2 < Ni = N18 < 19 < N19

Con lo cual la mediana será la media aritmética de los valores de la variable que ocupen el decimonoveno y el vigésimo lugar.

En nuestro ejemplo, el lugar decimonoveno lo ocupa el 5 y el vigésimo el 6, (desde el vigésimo hasta el vigésimo octavo)

con lo que Me = (5+6)/2 = 5,5 puntos.

La mitad de la clase ha obtenido un 5,5 o menos y la otra mitad un 5,5 o más

TUTORIAL PARA RESOLVER EL EJEMPLO CON LA HERRAMIENTA -- SCILAB –