Mediatriz
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La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos del segmento. Este lugar geométrico resulta ser la recta perpendicular al segmento por su punto medio.
En efecto, sea AB el segmento determinado por los puntos A y B (véase la figura 1). Sea M el punto medio del segmento y r la recta perpendicular al segmento por dicho punto. Sea P un punto sobre la recta r. En la simetría axial respecto de la recta r, el punto P es invariante y los puntos A y B son uno el simétrico del otro. Por tanto, en esta simetría, el segmento AP se transforma en el segmento BP, ambos segmentos son congruentes y el punto P equidista de los puntos A y B. En consecuencia, todo punto que se encuentre sobre la recta r pertenece a la mediatriz del segmento en cuestión.
Recíprocamente, (véase figura 2) sea AB un segmento y sea P un punto que equidista de A y de B, esto es que los segmentos AP y BP son iguales. Consideremos la bisectriz rdel ángulo APB y sea M la intersección de dicha bisectriz con el segmento AB. Por construcción, los ángulos APM y BPM son iguales y en la simetría axial respecto de la recta r se transforman uno en el otro y como los segmentos PA y PB son iguales, los puntos A y B son uno la imágen del otro en esta simetría. Concluimos que el punto M es punto medio del segmento AB y que dicho segmento es perpendicular a la recta r.
[editar] Aplicación
En un triángulo ABC, las mediatrices de los tres lados se cortan en un único punto, el circuncentro (O en la figura) que es centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.
En efecto, consideremos las mediatrices del lados AB y BC. Dichas mediatrices se cortan porque sus perpendiculares son rectas secantes. El punto de corte O equidista de los puntos A, B y C. En particular de los puntos A y C y se halla por tanto sobre la mediatriz del tercer lado.
El punto O, al ser equidistante de los tres vértices es centro de una circunferencia que pasa por estos tres puntos. Esta circunferencia es la circunferencia circunscrita al triángulo.
