Usuario Discusión:Monzerrat

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Tabla de contenidos

1 MÉTODO DE MINMAX, PARA RESOLVER JUEGOS DE MATRICES
2 Un juego
- 2.1 Estas son las materias que hasta ahora he cursado
3 Calendario 02 B
4 Calendario 03 A
5 Calendario 03 B
6 Calendario 04 A
7 Calendario 04 B
8 Calendario 05 A
9 Calendario 05 B
10 Calendario 06 A
11 Calendario 06 B
12 fórmulas
13 Ok
14 αβγ
15 RTT

[editar] MÉTODO DE MINMAX, PARA RESOLVER JUEGOS DE MATRICES

Si tenemos una matiz , la cual no tenga punto de inflexión, es decir que el minmax sea diferente del maxmin y además la matriz es de más de 2×2, (puede no ser cuadrada) podemos usar este método, veamos un ejemplo con el cual nos daremos cuenta de como usarlo y en que momento tendremos la solución.

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 2 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

Esta matriz claramente no tiene punto de inflexión, ya que el minmax es 2 y el maxmin es 1, por tanto debemos aplicar el método.

Primero Aumentaremos la matriz

G= $\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\ -1 & 1 & 1 & 2 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\ -1 & 2 & 3 & 1 & 3 & 2 & 0 & 1 & 0\\ -1 & 3 & 2 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

A cada una de esas columnas les llamaremos $P 0$ , $P 1$ , $P 2$ , $P 3$ , $P 4$ , $P 5$ , $P 6$ , $P 7$ , y $P 8$ respectivamente, ahora el siguiente paso es hacer una matriz de 4×4 escojiendo $P 0$ , $P 1$ , $P 6$ y $P 7$ , a esa matriz le llamaremos $B 0$ , luego encontramos su inversa.

$B 0$ = $\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 & 1 \\ -1 & 3 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ → $(B 0) - 1$ , = $\begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} R_0^0 \\ R_1^0 \\ R_2^0 \\ R_3^0 \end{bmatrix}$

El siguiente paso es multiplicar $R_0^0$ por los P's que no están en la matriz.

$R_0^0P_2=3(1)-2=1$

$R_0^0P_3=3(1)-2=1$

$R_0^0P_4=3(1)-1=2$ Escojemos el resultado mayor, (en este caso hay 2 se elije el que sea.)

$R_0^0P_5=3(1)-1=2$

$R_0^0P_8=3(0)-1=-1$

Esto quiere decir que $P 4$ reemplazará a alguna columna de $B 0$ , para determinar la columna que reemplazará debemos multiplicar la matriz inversa por $P 4$

V= $\begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \\ 3 \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} v_0 \\ v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix}$

Después debemos hacer las diviciones de los $R_j^0$ con los $v j$

$R_0^0/v_0=(3/2,0,0,-1/2)$

$R_1^0/v_1=(1,0,0,0)$

$R_2^0/v_2=(2/3,1/3,0,-1/3)$

$R_3^0/v_3=(1/3,0,1/3,-1/3)$ $P 4$ entra en el lugar $P j 3$

Para decidir en el lugar en el que va a entrar la nueva columna, vasta con ver, cual de los vectores tiene la entrada más pequeña, si tienen entradas iguales y las más pequeñas, lo resolvemos con la segunda entrada, y así susecivamente. Con esto concluimos lo que llamaremos la primera iteración.

Entonces empezaremos la segunda, y tenemos:

$B 1$ = $\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 0 & 3 \\ -1 & 3 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ → $(B 1) - 1$ = $\begin{bmatrix} 7/3 & 0 & -2/3 & -1/3 \\ 2/3 & 0 & 1/3 & 1/3 \\ 1 & 1 & -1 & 0 \\ 1/3 & 0 & 1/3 & -1/3 \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} R_0^1 \\ R_1^1 \\ R_2^1 \\ R_3^1 \end{bmatrix}$ $R_0^1P_2=7/3(1)-2/3(2)-1/3(2)=-1/3$

$R_0^1P_3=7/3(1)-2/3(1)-1/3(2)=1$ Entra $P 3$

$R_0^1P_5=7/3(1)-2/3(2)-1/3(1)=2/3$

$R_0^1P_7=7/3(0)-2/3(1)-1/3(0)=-2/3$

$R_0^1P_8=7/3(0)-2/3(0)-1/3(1)=-1/3$

V= $\begin{bmatrix} 7/3 & 0 & -2/3 & -1/3 \\ 2/3 & 0 & 1/3 & 1/3 \\ 1 & 1 & -1 & 0 \\ 1/3 & 0 & 1/3 & -1/3 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} v_0 \\ v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix}$ $R_0^1/v_0=(7/3,0,-2/3,-1/3)$

$R_1^1/v_1=(2/3,0,-1/3,1/3)$

$R_2^1/v_2=(1/2,1/2,-1/2,0)$ $P 3$ entra en el lugar $P j 2$

$R_3^1/v_3=()$

Terminamos la segunda iteración

$B 2$ = $\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 & 2 \\ -1 & 2 & 1 & 3 \\ -1 & 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ → $(B 2) - 1$ = $\begin{bmatrix} 11/6 & -1/2 & -1/6 & -1/3 \\ 1/6 & -1/2 & 1/6 & 1/3 \\ 1/2 & 1/2 & -1/2 & 0 \\ 1/3 & 0 & 1/3 & -1/3 \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} R_0^2 \\ R_1^2 \\ R_2^2 \\ R_3^2 \end{bmatrix}$ $R_0^2P_2=11/6(1)-1/2(1)-1/6(3)-1/3(2)=1/6$ Entra $P 2$

$R_0^2P_5=11/6(1)-1/2(3)-1/6(2)-1/3(1)=-1/3$

$R_0^2P_6=11/6(0)-1/2(1)-1/6(0)-1/3(0)=-1/2$

$R_0^2P_7=11/6(0)-1/2(0)-1/6(1)-1/3(0)=-1/6$

$R_0^2P_8=11/6(0)-1/2(0)-1/6(0)-1/3(1)=-1/3$

V= $\begin{bmatrix} 11/6 & -1/2 & -1/6 & -1/3 \\ 1/6 & -1/2 & 1/6 & 1/3 \\ 1/2 & 1/2 & -1/2 & 0 \\ 1/3 & 0 & 1/3 & -1/3 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 1/6 \\ 5/6 \\ -1/2 \\ 2/3 \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} v_0 \\ v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix}$ $R_0^2/v_0=(11,-3,-1,-2)$

$R_1^2/v_1=(1/5,-3/5,1/5,2/5)$

$R_2^2/v_2=(-1,-1,1,0)$ $P 2$ entra en el lugar $P j 2$

$R_3^2/v_3=(1/2,0,1/2,-1/2)$

Ahora

$B 2$ = $\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 & 2 \\ -1 & 3 & 1 & 3 \\ -1 & 2 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ → $(B 2) - 1$ = $\begin{bmatrix} 54/30 & -12/30 & -6/30 & -12/30 \\ 1/5 & -3/5 & 1/5 & 2/5 \\ 18/30 & 6/30 & -12/30 & 6/30 \\ 6/30 & 12/30 & 6/30 & -18/30 \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} R_0^3 \\ R_1^3 \\ R_2^3 \\ R_3^3 \end{bmatrix}$ $R_0^3P_1=54/30(1)-12/30(1)-6/30(2)-12/30(3)=-1/5$

$R_0^3P_5=54/30(1)-12/30(3)-6/30(2)-12/30(1)=-1/5$

$R_0^3P_6=54/30(0)-12/30(1)-6/30(0)-12/30(0)=-2/5$

$R_0^3P_7=54/30(0)-12/30(0)-6/30(1)-12/30(0)=-1/5$

$R_0^3P_8=54/30(0)-12/30(0)-6/30(0)-12/30(1)=-2/5$

Como todos los productos resultaron menores que cero, podemos intuir que esa es la matriz buscada, ahora solo falta verificar que las otras multiplicaciones sean cero y por $P 0$ sea 1

$R_0^3P_0=54/30(0)-12/30(-1)-6/30(-1)-12/30(-1)=1$