Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

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El Movimiento rectílíneo uniformemente acelerado (MRUA) o Movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV) es aquél en el que un móvil se desplaza sobre una recta con aceleración constante. Esto implica que en cualquier intervalo de tiempo, la aceleración del móvil tendrá siempre el mismo valor. Por ejemplo la caída libre de un móvil, con aceleración de la gravedad constante.

[editar] Ecuaciones del movimiento

Este movimiento, como su propio nombre indica, tiene una aceleración constante: $\vec{a} = \vec{a}_0$ lo que podemos emplear para determinar las distintas ecuaciones del movimiento: velocidad y espacio, veamos:

[editar] La aceleración

Como ya se ha dicho, la aceleración es constante y no varía con el tiempo:

$\vec{a}= \vec{a}_0$

[editar] Determinar la velocidad.

Cálculo de la velocidad en función del tiempo, partiendo de la ecuación anterior y de la definición de aceleración:

$\vec{a} = \vec{a}_0$
$\vec{a} = \frac {d\vec{V}}{dt}$

con lo que tenemos:

$\frac {d\vec{V}}{dt} = \vec{a}_0$

despejando:

$d\vec{V} = \vec{a}_0 dt$

integrando la ecuación:

$\int d\vec{V} = \int\vec{a}_0 dt$

sacando valores constantes de la integral:

$\int d\vec{V} = \vec{a}_0 \int{dt}$

resolviendo la integral:

$\vec{V} = \vec{a}_0 t + \vec{V}_0$

Donde: $\vec{V}_0\,$ es la constante de integración, corresponde a la velocidad del móvil para $t = 0\,$ , en el caso que el móvil este en reposo para $t = 0 \,$ entonces $\vec{V}_0 = 0 \,$ .

[editar] Determinar el espacio.

Cálculo del espacio en función del tiempo. Partiendo de la ecuación de la velocidad en función del tiempo y de la definición de velocidad:

$\vec{V} = \vec{a}_0 t + \vec{V}_0$
$\vec{V} = \frac {d\vec{x}}{dt}$

esto es:

$\frac {d\vec{x}}{dt}= \vec{a}_0 t + \vec{V}_0$

despejando términos:

$d\vec{x}= (\vec{a}_0 t + \vec{V}_0)dt$

integrando la ecuación:

$\int{d\vec{x}}= \int{(\vec{a}_0 t + \vec{V}_0)dt}$

descomponiendo la integral:

$\int{d\vec{x}}= \int{\vec{a}_0 t dt} + \int{\vec{V}_0dt}$

sacando valores constantes de la integral:

$\int{d\vec{x}}=\vec{a}_0 \int{t dt} + \vec{V}_0 \int{dt}$

resolviendo la integral:

$\vec{x}= \frac {1}{2} \vec{a}_0 t^2 + \vec{V}_0t + \vec{x}_0$

Donde $\vec{x}_0 \,$ es la constante de integración, corresponde a la posición del móvil respecto del centro de coordenadas para $t = 0 \,$ , en el caso que el móvil esté en el centro de coordenadas para $t = 0 \,$ entonces $\vec{x}_0 = 0 \,$ .

[editar] Ecuación no horaria

Partiendo de las ecuaciones de la velocidad y del espacio del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado:

$\vec{V} = \vec{a}_0 t + \vec{V}_0$
$\vec{x}= \frac {1}{2} \vec{a}_0 t^2 + \vec{V}_0 t + \vec{x}_0$

Para simplificar consideremos que:

$\vec{V}_0 = 0$
$\vec{x}_0 = 0$

consideraremos que el movimiento lineal de una dimensión, no necesita representación vectorial, y que las variables están representaras por su módulo, con lo que tenemos:

${V} = {a}_0 t \,$
${x}= \frac {1}{2} {a}_0 t^2 \,$

despejando t de la primera ecuación:

$t = {\frac{V}{{a}_0}}$

y sustituyendo en la segunda:

${x}= \frac {1}{2} {a}_0 \left( {\frac{V}{{a}_0}}\right)^2$

ordenando:

${x}= \frac {{a}_0 \, {V}^2}{2 \, {{a}_0}^2}$

simplificando

${x}= \frac {{V}^2}{2 \, {a}_0}$

Esta ecuación permite calcular la distancia x, a la que el móvil, uniformemente acelerado, alcanzará la velocidad V; como puede verse en esta expresión no interviene el tiempo.

Despejando la velocidad:

${{V}^2} = {2 \, {a}_0 \, {x}}$

que suele expresarse:

${V} = \sqrt{2 \, {a}_0 \, {x}}$

Que determina la velocidad del móvil en función de la aceleración y del espacio recorrido, esto es determina la velocidad según la distancia recorrida, dando por supuesto que se parte del reposo y del origen de coordenadas.

Dado que en estas expresiones no interviene el tiempo, se suelen denominar: ecuación no horaria.