Discusión:Número real

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El articulo esta sin terminar. Recuerdo que hay otras maneras de definir los numeros reales sin utilizar las cortaduras de Dedenkin (secciones iniciales abiertas,...). Aqui puede tratarse otra manera distinta para definir R que partiria de la incompletitud de la estructura topologica de Q y la necesidad de esta compleccion. Tambien echo en falta algo de "historia de R" (numeros conmensurables e inconmensurables; descubrimiento de los numeros irracionales, Pitagoras...) En definitiva, es un tema muy amplio y necesita toda la ayuda posible.

Hay una definición muy simple y fácil de entender que dice más o menos así:

Consideremos las expresiones $A.a_{1}a_{2}a_{3}\ldots$ donde A es un entero no negativo y los interminables enteros $a i$ tales que $0\leq a_{i} \leq 9$ y no forman colas de 9 como $A.a_{1}a_{2}\ldots a_{n} 999999\ldots$ , a este conjunto sin contar el $0.000\ldots$ se le llama el conjunto de los reales positivos y se denota por $\mathbb{R}^{+}$ .

El conjunto de los reales negativos ( $\mathbb{R}^{-}$ ) es el conjunto de los reales positivos con signo $-$ antepuesto.

El conjunto de los números reales $\mathbb{R}$ es la unión de $\mathbb{R}^{+}$ , $\mathbb{R}^{-}$ y $\left\{ 0.000\ldots\right\}$ .

NOTA: Si no se descartan las colas de 9, el uno tendría dos expanciones decimales: $1.00000\ldots$ y $0.99999\ldots$ El comentario anterior es obra de Kn (disc. · contr.), quien olvidó u omitió firmarlo. --Beto29 (discusión) 23:33 20 abr 2006 (CEST)

[editar] Completitud, y no continuidad.

He eliminado del texto el siguiente párrafo erroneo:

La principal característica del conjunto de los números reales es la continuidad, es decir, cuando se dice que un número se aproxima arbitrariamente a otro, por ejemplo, a 2, la continuidad de los números reales permite que existan números cada vez más cercanos a 2 como 1.9, 1.99, 1.999, etc., por un lado, o 2.1, 2.01, 2.001, etc. por el otro.

Desde el punto de vista matemático, la propiedad expresada en el párrafo no es la continuidad, sino la propiedad de ser divisible. Esta propiedad se enuncia diciendo que entre dos números reales distintos existen infinitos números reales, y es la que permite realizar la aproximación del ejemplo del párrafo. Pero no es una propiedad exclusiva del conjunto de números reales, pues también es propia del conjunto de los números racionales. De hecho, en el ejemplo del párrafo no se utiliza en ningún momento ningún número real que no sea racional.

Imagino que la propiedad a la que el autor del párrafo pretendía referirse es a la de completitud (y no continuidad, término que en Matemática se reserva exclusivamente a funciones, y no a conjuntos en general). La completitud sí es una propiedad que tiene el conjunto de números reales y de la cual carece el conjunto de números complejos. Viene a decirnos que toda sucesión de Cauchy de números reales tiene límite. En lenguaje llano, esto nos permite considerar cada número real como el límite de alguna sucesión de números racionales --que no es lo mismo que decir que podemos aproximarnos tanto como queramos a cualquier número real, puesto que esto también lo podemos hacer en el conjunto de números racionales.

Saludos: --Wewe 20:00 6 dic 2006 (CET)

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[editar] Completitud, y no continuidad.

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