Simplex

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Tienes mensajes nuevos (Dif. entre las dos últimas versiones).

Este artículo se refiere a un concepto matemático. En el campo de las comunicaciones, el término simplex corresponde a un canal de comunicación que transporta información en un solo sentido.

En geometría, un simplex o n-simplex es el análogo en n dimensiones de un triángulo. Más exactamente, un simplex es la envoltura convexa de un conjunto de (n + 1) puntos independientes afínes en un espacio euclidiano de dimensión n o mayor, es decir, el conjunto de puntos tal que ningún m-plano contiene más que (m + 1) de ellos. Se dice de estos puntos que están en posición general.

Por ejemplo, un 0-simplex es un punto; un 1-simplex un segmento de una línea; un 2-simplex un triángulo; un 3-simplex es un tetraedro; y un 4-simplex es un pentácoron (en cada caso, con su interior).

Un simplex regular es también un politopo regular. Un n-simplex regular puede construirse a partir de un (n-1)-simplex regular conectando un nuevo vértice a todos los vértices originales por la longitud común del lado.

La envoltura convexa de cualesquiera m de los n puntos también es un simplex, llamado una m-cara. Las 0-caras se llaman vértices; las 1-caras, lados; las (n-1)-caras se llaman facetas; y la única n-cara es el n-simplex en sí. Por lo tanto, el número de m-caras de un n-simplex puede hallarse en la columna (m + 1) de la fila (n + 1) del Triángulo de Pascal.

[editar] El estándar simplex

El estándar n-simplex es el subconjunto de Rⁿ⁺¹ dado por:

$\Delta^n = \{(t_0,\cdots,t_n)\in\mathbb{R}^{n+1}\mid\Sigma_{i}{t_i} = 1 \mbox{ y } t_i \ge 0 \mbox{ para todo } i\}$

Removiendo la restricción t_i ≥ 0 en la condición anterior da una n-dimensional subespacio afín de Rⁿ⁺¹ conteniendo el estándar n-simplex. Los vértices del estándar n-simplex son los puntos:

e₀ = (1, 0, 0, …, 0),

e₁ = (0, 1, 0, …, 0),

$\vdots$

e_n = (0, 0, 0, …, 1).

Ese es un mapa canónico desde el estándar n-simplex para un arbitrario n-simplex con vértices (v₀, …, v_n) dado para

$(t_0,\cdots,t_n) \mapsto \Sigma_i t_i v_i$

Los coeficientes t_i son llamados coordenadas baricentricas de un punto en el n-simplex. Este simplex general es a menudo llamado n-simplex afín, para enfatizar el mapa canónico es una transformación afín. A veces también es llamado n-simplex afín orientado para enfatizar que el mapa canónico puede ser de orientación preservada o revertido.