Teoría de flujo potencial

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Tienes mensajes nuevos (Dif. entre las dos últimas versiones).

La Teoría de Flujo Potencial pretende describir el comportamiento cinemático de los fluidos basádose en el concepto matemático de función potencial, asegurando que el campo de velocidades (que es un campo vectorial) del flujo de un fluido es igual al gradiente de una función potencial que determina el movimiento de dicho fluido:

$\vec{V} = - \nabla\phi$

con

$\vec{V}= u \hat{i} + v \hat{j} + w \hat{k}$

El menos en la ecuación de arriba es sólo una convención de signos sobre la definición de $φ$ , $φ$ puede definirse sin el menos y la formulación que se obtendrá será igual a la que obtendremos.

Una de las primeras personas en aplicar esta formulación para el flujo de un fluido fue D'Alembert. Él estudió la fuerza de arrastre producida por un flujo de fluido sobre un cuerpo que se oponía a éste en dos dimensiones cuando este problema era completamente obscuro y Newton, a pesar de haberlo estudiado, no había llegado a conclusiones satisfactorias.

D'Alembert definió la función de corriente, $ψ$ , para describir la trayectoria que tuviera cada partícula de un fluido a través del tiempo. Esta función corriente está determinada, en el plano, por dos variables espaciales y para cada valor de $ψ$ la igualdad $ψ = ψ(x, y)$ determina un lugar geométrico llamado línea de corriente.

En la teoría de flujo potencial las funciones $ψ$ y $φ$ van de la mano, y, como veremos más adelante, están relacionadas íntimamente debido a su definición. En teoría de variable compleja se define la función potencial de una manera más completa como:

$Φ = φ + i ψ$

Tabla de contenidos

1 Algunos Patrones de Flujo Simple
- 1.1 Flujo Uniforme
- 1.2 Fuentes y Sumideros
2 Véase también

[editar] Algunos Patrones de Flujo Simple

[editar] Flujo Uniforme

Un flujo el cual sea uniforme en una misma dirección cumple con que $\vec{V}=U_{0}\hat{n}$ donde $\hat{n}$ es la dirección del flujo. Si tomamos esta dirección como la del eje $x$ , optendremos que el campo de velocidades estará dado por:

$\vec{V}=U_{0}\hat{i}$

Con lo cual podremos encontrar la función potencial integrando:

$\phi=-\int U_{0} dx +f(y)$

Sabiendo que $\frac{\partial \phi}{\partial y}=0$ y que no existe componente vertical de la velocidad en ningún punto del flujo tenemos:

$\phi=-\int U_{0} dx + C_1$

En esta ecuación podemos tomar la constante de integración igual a cero. Quedando las funciones potencial y corriente como:

$φ = - U 0 x$

$ψ = - U 0 y$

[editar] Fuentes y Sumideros

Una fuente o un sumidero de algún fluido tiene la particularidad de que el flujo sólo sale o entra, lo que implica que el vector velocidad para cada punto del flujo será colineal al origen para ambos casos. Es mucho más sencillo hallar esta función potencial usando coordenadas polares. Así:

$v_r = \frac{Q}{2\pi r}$