Teorema del sandwich

De Wikipedia, la enciclopedia libre

En cálculo, el criterio del sandwich (llamado también teorema del enclaustramiento, o squeeze theorem en inglés) es un teorema usado en la determinación del límite de una función. Este teorema enuncia que si dos funciones tienden al mismo límite en un punto, cualquier otra función que pueda ser acotada entre las dos anteriores tendrá el mismo límite en el punto.

El teorema o criterio del sandich es muy importante en demostraciones de cálculo y análisis matemático. Y es frecuentemente utilizado para encontrar el límite de una función a través de la comparación con otras dos funciones de límite conocido o fácilmente calculable. Fue utilizado por primera vez de forma geométrica por Arquímedes y Eudoxo en sus esfuerzos por calcular π. Aunque la formulación moderna fue obra de Gauss.

[editar] Exposición

El teorema del sandwich es expuesto formalmente como:

Sea I un entorno del punto a. Y sean f, g y h funciones definidas en I, exceptuando quizás el mismo punto a. Supongamos que para todo x en I diferente de a tenemos:

$g(x) \leq f(x) \leq h(x)$

y supongamos también que:

$\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L.$

Entonces $\lim_{x \to a} f(x) = L$ .

Las funciones g(x) y h(x) son llamadas cotas de f(x).

[editar] Indeterminaciones

Uno de los usos más frecuentes del teorema Sandwich es en la resolución de límites indeterminados. En particular, permite afirmar que el límite $\lim_{x\to 0} \frac{\operatorname{sen} x}{x} = 1$ . Algunas indeterminaciones pueden resolverse despejando dicha expresión de la expresión general y aplicando propiedades del límite con el resto.