Variedad (matemática)

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Tienes mensajes nuevos (Dif. entre las dos últimas versiones).

Una variedad es el objeto geométrico estándar en matemática, que generaliza la noción intuitiva de curva (1-variedad) o superficie (2-variedad) a cualquier dimensión y sobre cuerpos variados (no forzosamente el de los reales); existe en diversas variantes utilizadas según el dominio particular considerado:

variedades diferenciables: son como las superficies lisas (sin puntos angulosos) y generalmente reales, donde se pueden definir en cualquier punto vectores (o planos) tangentes; están utilizadas por la teoría de los grupos de Lie, por el cálculo diferencial sobre los espacios topológicos más generales (que se utilizan en mecánica, por ejemplo);
variedades algebraicas: son curvas o superficies definidas como raíces de polinomios de varias variables generalmente complejas;
variedades aritméticas: son casos particulares de variedades algebraicas, más especializadas, para las aplicaciones orientadas a la teoría de números. El cuerpo de referencia es el de los números racionales, o una de sus extensiones.

Un poco más formalmente, podemos decir que una variedad de dimensión n es un espacio que se parece localmente a $\mathbb{R}^n$ . Esto nos hace pensar que una variedad esta compuesta de parches n-dimesionales, que donde los parches se traslapan están pegados topológicamente (ver variedad diferenciable).

Un campo de investigación muy activo es el estudio de las 3-variedades, que pertenece al área de la topología de dimensiones bajas.

[editar] Generalización

La categoría de las variedades (indefinidamente) diferenciables con morfismos (indefinidamente) diferenciables carece de ciertas propiedades deseables, y se ha tratado de generalizar las variedades (indefinidamente) diferenciables para corregir esto. Los espacios difeológicos usan una noción diferente de carta conocida como plots ( o placas). Espacio diferenciable y Espacio de Frölicher son otros intentos.