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1 Variación de la presión con la altura

[editar] Variación de la presión con la altura

La variación con la altura de la Presión atmosférica o de la densidad atmosférica es lo que se conoce como Ley barométrica. No es lo mismo la variación de la presión con la altura en un líquido como el océano que en un gas como la atmósfera y la razón estriba en que un líquido no es compresible y por tanto su densidad permanece constante. Así que en el océano rige la fórmula:

$P=\rho \cdot g \cdot h$

por lo que si la profundidad h se hace doble la presión también.

Para los gases ideales se cumple la ley de los gases perfectos:

Ley de Charles "La densidad de un gas a temperatura constante es proporcional a la presión del gas."

Es decir:

$\rho=\frac{P_0}{\rho_0} \cdot P$

ya que

$P \cdot V=P_0 \cdot V_0= P \cdot \frac{m}{\rho}= P \cdot \frac{m}{\rho_0}$

Sabemos que en condiciones normales es decir 0 ºC de temperatura y 1 atmósfera de presión un mol de gas ocupa 22,4 litros así que:

$\rho_0=\frac{M}{22,4} \frac {gr}{litro}$

donde M es la masa molecular. Para la atmósfera de la Tierra 20% de O₂ y 80% de N₂ el peso molecular es:

$0,2 \cdot 32+ 0,8 \cdot 28=28,96$

por lo que

$\rho_0 = \frac {28,96}{22,4} \cdot \frac {gr}{litro}= 1,293 \frac {gr}{litro}=1,293 \cdot \frac {Kgr}{m^3}$

Para una presión de 0ºC y P atmósferas:

$\rho=1,293 \cdot P \frac {gr}{litro}$

Si la presión se mantiene constante "la densidad es inversamente proporcional a la temperatura"

Es decir:

$\rho=\rho_0 \cdot T_0 \frac {1}{T}$

ya que:

$\frac {V}{T}=\frac {V_0}{T_0}=\frac {m}{\rho \cdot T}=\frac {m}{\rho_0 \cdot T_0}$

[editar] Ley de la densidad

Combinando ambas llegamos a la ley de los gases perfectos:

$P \cdot V=n \cdot R \cdot T=\frac{m}{M}\cdot R \cdot T$

así que:

$\rho=\frac{P \cdot M}{R \cdot T}$

[editar] Cálculo de la densidad atmosférica en la superficie de los planetas

Sabiendo que la constante R de los gases perfectos vale:

$R=8,313 \cdot \frac {julios}{K \cdot Kmol}$

y que 1 atmósfera vale:

$1 atmosfera=1,013 \cdot 10^5 \cdot \frac {N}{m^2}$

resulta:

Planeta	Temp. (ºK)	Presión (atmf.)	Masa molecular M	Densidad (kg/m³⁾
Tierra	288	1	28,96	1,225
Venus	738	92,8	44	67,42
Titán	95	1,48	28,6	5,43
Marte	215	0,0079	43,64	0,0195

[editar] Ley barométrica

En una atmósfera isoterma la presión varía con la altura siguiendo la ley:

$P=P_0 \cdot e^{\frac{-M \cdot g \cdot (h-h_0)}{R \cdot T}}$

donde M es la masa molecular, g la aceleración de la gravedad, h-h₀ es la diferencia de alturas entre los niveles con presiones P y P₀ y T es la Temperatura absoluta media entre los dos niveles, y R la constante de los gases perfectos. El hecho de que la temperatura varíe si limita validez de la fórmula. Por el contrario la variación de la aceleración de la gravedad es tan suave que no afecta.

La demostración de la fórmula es sencilla:

La diferencia de presión entre dos capas separadas por un $Δ h$ es:

$\Delta P=- \rho \cdot g \cdot \Delta h$

Pero por la ley de la densidad

$\rho=\frac{P \cdot M}{R \cdot T}$

Así que:

$\Delta P=- \frac{P \cdot M}{R \cdot T} \cdot g \cdot \Delta h$

que por integración se convierte en:

$\int_{P_0}^{P} \frac {dP}{P}=\frac {-M \cdot g}{R \cdot T} \int_{h_0}^{h} dh \,$

es decir:

$ln (P)-ln (P_0)=\frac {-M \cdot g \cdot (h-h_0)}{R \cdot T} \,$

por lo que:

$P=P_0 \cdot e^{\frac{-M \cdot g \cdot (h-h_0)}{R \cdot T}}$

[editar] Incremento de altura

El Incremento de altura es la altura a la que hay que elevarse en una atmósfera para que la presión atmosférica disminuya a la mitad. Para calcularla basta con poner en la ley barométrica $P=P_0/2 \,$ resulta:

$\Delta h=\frac{R \cdot T}{M \cdot g} \cdot ln 2 \,$

[editar] Escala de altura

La Escala de altura es la altura a la que hay que elevarse en una atmósfera para que la presión atmosférica disminuya en un factor e=2,718182. Es decir la disminución de presión es $1-\frac {1}{e}=0,632= 63,2%$ Para calcularla basta con poner en la ley barométrica $P=P_0/e \,$ resulta:

$H=\frac{R \cdot T}{M \cdot g} \,$

[editar] Cálculo de la Escala de altura en diferentes atmósferas

Basta con aplicar la fórmula anterior para obtener H en metros.

Planeta	Temp. (ºK)	Ac. gravedad g (m/s²)	Masa molecular M	Escala altura H(km)	Incremento altura (km)
Tierra	288	9,81	28,96	8,42	5,8
Venus	738	8,63	44	16,15	11,2
Titán	95	1,37	28,6	20,15	13,9
Marte	215	3,73	43,64	10,98	7,6
Júpiter	(*)160	26,20	(**)2	25,37	17,6

(*)Temperatura K cerca del límite de las nubes.

(**) Puede haber suficiente Helio para aumentar la masa molecular disminuyendo la escala de alturas.

[editar] Representación de la variación de la presión con la altura

Si representamos el logaritmo de la presión o de la densidad en función de la altura obtendríamos una línea recta si la atmósfera fuese isoterma es decir si la escala de altura no variase con la altura. La escala de altura es pequeña si la temperatura es baja y ello significa que la presión y la densidad decrecen rápidamente. Si la tempreratura es alta la escala es grande y varían suavemente. Pero la escala de altura también depende de la masa molecular y masa moleculares altas hacen disminuir la escala de alturas al igual que planetas grandes con elevadas aceleraciones de la gravedad que también hacen disminuir la escala de alturas y la presión y la densidad decrecen rápidamente.

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