نظریه اعداد
از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد.
نظریه اعداد شاخه‌ای از ریاضیات محض است که در مورد خواص اعداد صحیح بحث می‌‌کند.
فهرست مندرجات |
[ویرایش] نظریه مقدماتی اعداد
در نظريه مقدماتی اعداد، اعداد صحیح را بی استفاده از روشهای به‌کار رفته در سایر شاخه‌های ریاضی بررسی میکنند. مسائل تقسیم‌پذیری، الگوریتم اقلیدس برای محاسبه بزرگ‌ترین مقسوم‌الیه مشترک، تجزیه اعداد به اعداد اول، جستجوی عدد تام perfect number و همنهشتی‌ها در این رده هستند. برخی از یافته‌های مهم این رشته قضیه کوچک فرما،قضیه اعداد اول و قضیه اویلر، قضیه باقیمانده چینی و قانون تقابل درجه دوم هستند. خواص توابع ضربی مانند تابع موبیوس و تابع φ اویلر و دنباله اعداد صحیح و فاکتوریل‌ها و اعداد فیبوناچی در همین حوزه قرار دارند.
حل بسیاری از مسائل در نظریه مقدماتی اعداد بر خلاف ظاهر ساده آن‌ها نیازمند کوشش بسیار و به‌کار گرفتن روشهای نوین است. چند نمونه:
- حدس گلدباخ در مورد نمایش اعداد زوج به صورت جمع دو عدد اول،
- حدس کاتالان در مورد توانهای متوالی از اعداد صحیح،
- حدس اعداد اول تؤامان در مورد بینهایت بودن زوج‌های اعداد اول،
- حدس کولاتز در مورد تکرار ساده،
- حدس اعداد اول مرسن در مورد بينهايت بودن اعداد اول مرسن و ...
همچنین ثابت شده که نظريه معادلات دیوفانتی تصمیم‌ناپذیر است (به مسئله دهم هیلبرت مراجعه کنید.)
[ویرایش] نظریه تحلیلی اعداد
در نظريه تحلیلی اعداد از حسابان و آنالیز مختلط برای بررسی سؤالاتی در مورد اعداد صحیح استفاه می‌شود. مثال‌هایی در این مورد قضیه اعداد اول و فرض ریمان هستند. مسئله وارینگ (یعنی نمایش هر عدد صحیح به صورت جمع چند مربع یا مکعب)، حدس اعداد اول تؤامان (یافتن بینهایت عدد اول با اختلاف ۲)، و حدس گلدباخ (نمایش هر عدد زوج به‌صورت مجموع دو عدد اول) نیز با روشهای تحلیلی مورد حمله قرار گرفته‌اند. اثبات متعالی بودن ثابت‌های ریاضی، مانند π و e نیز در بخش نظریه تحلیلی اعداد قرار دارند. اگرچه حکم‌هایی در مورد اعداد متعالی خارج از محدوده مطالعات اعداد صحیح به نظر می‌آید، در واقع مقادیر ممکن برای چند جمله‌ای‌ها با ضریب‌های صحیح مانند e را بررسی میکنند. همچنین این‌گونه مسائل با مبحث تقریب دیوفانتین نیز ارتباط نزدیک دارند که موضوع آن این است که چگونه می‌توان یک عدد حقیقی داده شده را با یک عدد گویا تقریب زد؟
[ویرایش] نظریه جبری اعداد
در نظريه جبری اعداد، مفهوم عدد به اعداد جبری، که همان ریشه‌های چند جمله‌ای‌هائی با ضریب گویا هستند، گسترش می‌یابد. در این حوزه اعدادی مشابه اعداد صحیح با نام اعداد صحیح جبری وجود دارد. در این عرصه لازم نیست ویژگی‌های آشنای اعداد صحیح (مانند تجزیه یگانه) برقرار باشد. مزیت روشهای استفاده شده در این رشته (مثل نظريه گالوا، میدان همانستگی field cohomology، نظریه رده میدان class field theory، نمایش‌های گروه‌ها و توابع-L) این است که برای این رده از اعداد، نظم را تا حدودی تأمین م‌کند.
حمله به بسیاری از سؤالات نظریه اعداد به صورت "پیمانه p، برای کلیه اعداد اول p" مناسب‌تر است (به میدان‌های متناهی مراحعه کنید.) به چنین کاری "محلی سازی" می‌‌گویند که به ساختن عدد p-ای می‌انجامد. نام این رشته "تحلیل موضعی" است که از نظریه اعداد جبری ناشی می‌شود.
[ویرایش] نظریه هندسی اعداد
نظريه هندسی اعداد (که قبلا به آن هندسه اعداد می‌گفتند) جنبه‌هایی از هندسه را به نظریه اعداد پیوند می‌دهد؛ و از قضیه مینکوسکی در ارتباط با نقاط توری در مجموعه‌های محدب و تحقيق در مورد چپاندن کره‌ها (sphere packings) در فضای Rn شروع می‌شود.
[ویرایش] نظریه ترکیبیاتی اعداد
نظریه ترکیبیاتی اعداد به مسائلی در نظریه اعداد میپردازد که با روشهای ترکیبیاتی بررسی می‌شوند. پل اردوش بنیان‌گذار اصلی این شاخه از نظریه اعداد بود.
[ویرایش] نظریه محاسباتی اعداد
نظریه محاسباتی اعداد به الگوریتم‌های مربوط به نظریه اعداد میپردازد. الگوریتم‌های سریع برای امتحان اعداد اول و تجزیه اعداد صحیح در رمزنگاری کاربردهای مهمی دارند .
