اعداد اول
از ویکیپدیا، دانشنامهٔ آزاد.
اعداد اول اعدادی طبیعی هستند که بر هیچ عددی بجز خودشان و عدد ۱ بخشپذیر نباشند. تنها استثنا عدد ۱ است که جزو این اعداد قرار نمیگیرد. اگرعددی طبیعی وبزرگتر از ۱ اول نباشد [[اعداد مرکب|مرکب]] است.
عدد یکان اعداد اول بزرگتر از ۱۰ فقط ممکن است اعداد ۱، ۳، ۷، ۹ باشد.
پیدا کردن ضابطه ای جبری برای اعداد اول جزو یکی از معماهای ریاضی باقیمانده است و هنوز کسی به فرمولی برای آنها به دست نیاورده است.
دنبالهٔ اعداد اول به این صورت شروع میشود: ۲، ۳، ۵، ۷، ۱۱، ۱۳، ۱۷، ۱۹ ...
قضیه ۱: تعداد اعداد اول بینهایت است.
به این اثبات دقت کنیداز برهان خلف استفاده می کنیم:
برهان خلف : اعداد اول متناهی است.
اعداد اول را در هم ضرب می کنیم.
P1,P2,P3, ... ,Pn
ضرب اعداد از Pi بزرگتراست.P1*P2*P3* ... *Pn > Pi
P1 * P2 * P3 * ... * Pn +1 > Pi
P1 * P2 * P3 * ... * Pn +1 = Pi1 * ... * Pik
P1 * P2 * P3 * ... Pn+1 = Pi * X
Pi1 * ... * Pik = Pi * X
P1 * P2 * P3 * ... * Pn +1 = Y+1
Pi1 * Y+1 = Pi1 * X
Pi1 * X - Pi1 * Y=1
Pi1(X-Y)=1
Pi1 = 1
عدد مذکور جزو اعداد اول نیست پس به تناقض می رسیم. برهان خلف باطل است. اعداد اول نامتناهی هستند.
قضیه ۲ (قضیه اساسی حساب): هر عدد طبیعی بزرگتر از ۱ را می توان به شکل حاصلضرب اعدادی اول نوشت.
قضیه ۳ (قضیه چپیشف):اگر n عددی طبیعی و بزرگتر از ۳ باشد، حتما" بین n و ۲n عدد اولی وجود دارد. قضيه ۴ هر عدد زوج را میتوان بصورت جمع دو عدد اول نوشت.
قضيه ۵ هر عدد فرد (شامل اعداد اول) را میتوان به صورت جمع سه عدد اول نوشت (اثبات بر پايه قضيه ۴)
قضيه 6-هر عدد فرد را میتوان به صورت دو برابر يك عدد اول بعلاوه يك عدد اول ديگر نوشت (برهان آن را بنویسد).
خواص اعداد اول:
1- هر عدد اول برابر است با 6n+1 يا 6n-1 كه n يك عدد صحيح است.
2-مجذور هر عدد اول برابر است با 24n+1.
3-تفاضل مجذورهاي دو عدد اول مضربي از 24 است.
4-حاصلضرب هر دو عدد اول بجز 2و3 مضربي از 6 بعلاوه يا منهاي يك است.
توان چهارم هر عدد اول بجز 2و3 مضربي از 240 بعلاوه يك است.
بزرگترین عدد اول کشف شده برابر دو به توان 32ميليون و 582هزار و 657منهاي يك است.این عدد یک عدد مرسن است. عدد مرسن عددی است که برابر 2 به توان n منهای یک است.
لازم به ذكر است كه تعداد 3000 عدد اول در سايت مگاسندر www.megasender.org وجود دارد و افرادي كه مايل به دريافت بيشتر اين اعداد هستند مي توانند با سايت مذكور تماس گرفته و تعداد بيشتري از آنها را بر روي لوح فشرده دريافت نمايند و طراحان اين سايت خودشان اين اعداد را محاسبه نموده اند