Теория на числата

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Класическата теория на числата е клон на математиката който изследва свойствата на целите числа. От сравнително по-скоро теорията на числата се занимава с по-широк клас проблеми, които естествено възникват при изучаването на целите числа. Тя се разделя на няколко подобласти, в зависимост от методите които се използват и типовете въпроси които се разглеждат.

Терминът "аритметика" се използва понякога като синоним на "теория на числата". Това е сравнително старо значение и по настоящем не е много популярно. Теорията на числата се е наричала висша аритметика, но този термин също е отпаднал от употреба. Въпреки това все още участва в някои наименования (аритметична функция, аритметика на елиптичните криви, основна теорема на аритметиката). Това значение на термина аритметика не трябва да се бърка със елементарната аритметика.

Съдържание 1 Области 1.1 Елементарна теория на числата 1.2 Аналитична теория на числата 1.3 Алгебрична теория на числата 2 История 2.1 Ранна история 2.2 Начало на систематична теория 2.3 Теория на простите числа

[редактиране] Области

[редактиране] Елементарна теория на числата

В елементарната теория на числата, целите числа се изучават без да се използват методи от други области на математиката. Тя се занимава с въпроси като делимост, използване на алгоритъма на Евклид за намиране на най-голям общ делител, разлагане на целите числа като произведение на прости, изследване на съвършените числа, сравнения и други. Някои от важните открития в тази област включват: малката теорема на Ферма, теоремата на Ойлер, китайската теорема за остатъците и закона за квадратичната реципрочност. Изучаване на свойствата на мултипликативните функции като например функцията на Мьобиус и функцията на Ойлер, целочислени редици, функцията факториел и числата на Фибоначи също попадат в тази област.

Много теоретико-числови проблеми могат да се изкажат с термини от елементарната теория на числата но въпреки това изискват много по-дълбоки изследвания и методи от други области на математиката. Например:

• хипотезата на Голдбах, която твърди, че всяко четно число по-голямо от 4 може да се изрази като сума на две прости.
• Хипотезата за простите числа близнаци, която твърди, че има безброй много двойки прости числа с разлика 2, като 3 и 5 или 11 и 13.
• Голямата теорема на Ферма (която е изказана през 1637, но е доказана чак през 1994) която твърди, че уравнението xⁿ + yⁿ = zⁿ няма решение в цели числа за n по-голямо от 2.

Теорията на диофантовите уравнения е доказано неразрешима (виж Хилбертови проблеми).

[редактиране] Аналитична теория на числата

Аналитичната теория на числата използва средствата на диференциалното и интегрално смятане и комплексния анализ, за да отговаря на въпроси за целите числа. Законът за разпределение на простите числа и свързаната с него хипотеза на Риман са области от аналитичната теория на числата. Други проблеми включват: проблемът на Уоринг (касаещ представянето на дадено цяло число като сума на квадрати, кубове и т.н.), хипотезата за простите числа близнаци и хипотезата на Голдбах. [[математическо доказателство|Доказателствата],] че π и e са трансцедентни, също принадлежат на аналитичната теория на числата. Въпреки че твърденията за трансцедентните числа на пръв поглед нямат много общо с изучаването на целите числа, те всъщност изучават възможните стойности на полиноми с цели коефициенти пресметнати например в числото e. Те също са свързани с теорията на диофантовите приближения, която изучава колко добре дадено реално число може да се приближи с рационално число.

[редактиране] Алгебрична теория на числата

В алгебричната теория на числата, понятието число е разширено до алгебричните числа които са корени на полиноми с рационални коефициенти. Те съдържат елементи аналогични на целите числа, така наречените цели алгебрични числа. При тях познатите свойства на целите (например еднозначно разлагане на прости множители) не винаги се запазват.

Много теоретико-числови въпроси могат най-добре да се атакуват като се разгледат по модул p за всяко просто p (вижте крайно поле). Това се нарича локализация и води до конструкцията на p-адичните числа. Те се изучават в област от математиката наречена локален анализ, която произлиза от алгебричната теория на числата.

[редактиране] История

[редактиране] Ранна история

Теорията на числата е била любима област за древните гърци, на които са били известни някои специални случаи на диофантовите уравнения. Тя се възражда през шестнадесети и седемнадесети век в Европа, с Франсоа Виет, Bachet de Meziriac, и особено Ферма, чийто метод на безкрайното спускане е първата обща идея за решаване на диофантови уравнения. Основни приноси през осемнадесети век правят Ойлер и Лагранж.

[редактиране] Начало на систематична теория

Около началото на деветнадесети век книги на Льожандър (1798), и Гаус излагат първите систематични теории. Може да се каже, че книгата на Гаус Disquisitiones Arithmeticae[1] (1801) поставя началото на модерната теория на числата.

Гаус пръв формулира теорията на сравненията. Той въвежда означението

и изследва по-голямата част от тази област. През 1847 Чебишев публикува труд на руски език.

Освен обобщаване на предишни резултати, Льожандър излага законът за квадратичната реципрочност. Този закон, първоначално формулиран от Ойлер е за пръв път доказан в книгата на Льожандър Théorie des Nombres (1798) за някои частни случаи. Независимо от тях Гаус открива закона през 1795, и е първият който дава общо доказателство. Към предмета също допринасят: Коши, Дирихле, Якоби, който въвежда символа на Якоби; Лиувил, Айзенщайн, Кумер, и Кронекер. Теорията се разширява и включва кубична и биквадратична реципрочност.

На Гаус дължим и представянето на числата като квадратични форми.

[редактиране] Теория на простите числа

Плодотворна тема в теорията на числата е изучаването на разпределението на простите числа. Още като тинейджър, Гаус формулира хипотеза относно броят на простите числа, които не надвишават дадено число (виж Закон за разпределение на простите числа).

Чебишев (1850) дава полезни ограничения отгоре и отдолу на същия брой. Риман пръв използва комплексен анализ в изследването на дзета функцията на Риман. Това води до намирането на връзка между нулите на дзета функцията и разпределението на простите числа, което в крайна сметка дава доказателство на закона за разпределение на простите числа, намерено едновременно от Адаманд и Вале-Пусен през 1896. По-късно, през 1969 Пол Ердьош и Атле Селберг дават елементарно доказателство на теоремата. Тук елементарно означава че не се използват техники от комплексния анализ, доказателството обаче, е доста трудно. Хипотезата на Риман, би ни дала много по-точна информация по въпроса, но все още не е известно дали тя е вярна.