Korrelaatio

Wikipedia

Korrelaatio on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä käytetty käsite, joka kuvaa kahden muuttujan välistä riippuvuutta. Korrelaatiokerroin tarkoittaa aineistosta laskettua havaintojen välistä korrelaatiota. Tarkkaan ottaen se on numeerinen mitta satunnaismuuttujien väliselle lineaariselle riippuvuudelle. Riippumattomien muuttujien välillä ei ole korrelaatiota.

Pohjimmiltaan korrelaatio on muuttujien kovarianssi, joka on standardoitu välille [-1,1]. Korrelaatiokerroin ei siis riipu käytetyistä yksiköistä. Mitä enemmän korrelaatiokerroin poikkeaa nollasta, sitä voimakkaampaa muuttujien välinen riippuvuus on. Arvo 1 tarkoittaa, että muuttujien välillä on täydellinen lineaarinen riippuvuus (-1 tarkoittaa täydellistä negatiivista riippuvuutta). Standardointi tehdään jakamalla kovarianssi muuttujien keskihajontojen tulolla.

Korrelaatio voidaan laskea usealla eri tavalla muuttujien mitta-asteikosta ja käyttötarkoituksesta riippuen. Tavallisesti korrelaatiolla tarkoitetaan Pearsonin korrelaatiokerrointa. Nimestä huolimatta sen esitti ensimmäisenä Francis Galton. Jos tarkasteltavat muuttujat on mitattu vain järjestysasteikolla, niin silloin korrelaation mittamiseen soveltuu paremmin jokin ei-parametrinen korrelaatiokerroin.

Sisällysluettelo

1 Pearsonin korrelaatiokerroin
- 1.1 Matemaattinen määritelmä
2 Otoskorrelaatio
3 Ei-parametriset korrelaatiokertoimet

[muokkaa] Pearsonin korrelaatiokerroin

[muokkaa] Matemaattinen määritelmä

Satunnaismuuttujien $X$ ja $Y$ välinen korrelaatio $ρ X, Y$ on määritelty:

$\rho_{X,Y}={\mathrm{cov}(X,Y) \over \sigma_X \sigma_Y} ={E((X-\mu_X)(Y-\mu_Y)) \over \sigma_X\sigma_Y},$

missä $μ X$ ja $μ Y$ ovat muuttujien odotusarvot sekä $σ X$ ja $σ Y$ ovat muuttujien keskivirheet.

Koska $μ X = E (X)$ ja $\sigma_X^2 = E(X^2)-[E(X)]^2$ , voidaan yhtälö kirjoittaa myös:

$\rho_{X,Y}=\frac{E(XY)-E(X)E(Y)}{\sqrt{E(X^2)-E^2(X)}~\sqrt{E(Y^2)-E^2(Y)}}$

Korrelaatio on määritelty vain, jos molemmat keskivirheet ovat äärellisiä ja nollasta poikkeavia. Cauchyn-Schwarzin epäyhtälön perusteella korrelaation itseisarvo ei voi ylittää yhtä. Riippumattomien muuttujien korrelaatio on 0, mutta päinvastainen ei ole välttämättä totta. Esimerkiksi kun $X$ on tasajakautunut välillä (-1,1) ja $Y = X 2$ , on niiden välinen korrelaatio 0, vaikka ne riippuvat toisistaan. Normaalijakautuneiden satunnaismuuttujien tapauksessa korreloimattomuus tosin johtaa riippumattomuuteen.

[muokkaa] Otoskorrelaatio

Tarkastellaan $n$ :n havainnon otosta muuttujista $X$ ja $Y$ . Merkitään havaintoja $x i$ ja $y i$ , missä $i=1,2,\dots,n$ . Pearsonin korrelaatiokertoimella tai otoskorrelaatiolla voidaan estimoida $X$ :n ja $Y$ :n välistä korrelaatiota. Etenkin kun $X$ ja $Y$ ovat normaalijakautuneita, Pearsonin korrelaatiokerroin on paras korrelaation estimaatti. Otoskorrelaatio lasketaan seuraavasti:

$r_{xy}=\frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{(n-1) s_x s_y},$

missä $\bar{x}$ ja $\bar{y}$ ovat otoskeskiarvoja sekä $s x$ ja $s y$ ovat otoskeskivirheitä.

[muokkaa] Ei-parametriset korrelaatiokertoimet

Pearsonin korrelaatiokerroin on parametrinen tunnusluku ja vähemmän hyödyllinen, jos taustalla oleva normaalisuusoletus ei päde. Ei-parametriset korrelaatiokertoimet ovat tällöin parempia korrelaation laskemiseen. Ne ovat vähemmän tehokkaita normaalisuusoletuksen vallitessa, mutta antavat epäselvissä tapauksissa luotettavampia tuloksia.

Seuraavat menetelmät perustuvat lukujen järjestykseen, joten niitä voi käyttää myös silloin, kun muuttujat on mitattu järjestysasteikolla: