Neliöllinen keskiarvo

Wikipedia

Neliöllinen keskiarvo (engl. Quadratic mean, Root mean square, RMS) on matemaattinen käsite, joka tarkoittaa jonkin joukon tai jakauman keskiarvoistamista. Neliöllistä keskiarvoa käytetään muun muassa sähkötekniikassa määriteltäessä vaihtojännitteen tai -virran tehollisarvo. Yleensä puhutaankin vain RMS-arvosta.

Neliöllinen keskiarvo muuttujalle X lasketaan ottamalla neliöjuuri muuttujan X toiseen potenssiin korotetuiden osien keskiarvosta.

$R(x) \equiv \sqrt{\left\langle x^2 \right\rangle}$ ^[1]

Diskreeteillä jakaumilla lauseke on muotoa

$R(x) = \sqrt{\frac{\sum_{k=0}^N x_k^2}{k}}$ ^[1]

ja jatkuvilla jakaumilla

$R(x) = \sqrt{\frac{\int P(x) x^2\, dx}{\int P(x)\, dx}}$ ^[1].

[muokkaa] Keskiarvoistaminen sähkötekniikassa

Sähkötekniikassa tulee vastaan usein tilanne jolloin täytyy tuntea vaihtojännitteen tehollisarvo, joka lasketaan vaihtojännitteestä keskiarvoistamalla käyttämällä RMS-keskiarvoistamista. Vaihtojännite, joka ilmaistaan tehollisarvonsa avulla antaa kuormaan saman tehon kuin vastaavan suuruinen tasajännite.

[muokkaa] Vaihtojännitteen tehollisarvon laskenta

Tehollisarvo määritellään keskimääräisen tehon avulla. Tehon määritelmän ja Ohmin lain avulla hetkelliseksi tehoksi resistanssiin saadaan

$P = {v^2(t) \over R}$ ,

jossa $v (t)$ on jännitteen arvo tietyllä ajan hetkellä $t$ ja $R$ kuormavastuksen resistanssi.

Lasketaan seuraavaksi keskimääräinen teho hetkellisestä tehosta integroimalla jakson yli ja jakamalla saatu tulos jakson pituudella. Huomaa, että resistanssi ei riipu ajasta ja se on tuotu lausekkeen eteen. Vain jännite muuttuu ajan funktiona.

$P_{avg} = {1 \over R} \left({1 \over T} \int_{t_0}^{t_0+T} v^2(t)\, dt\right) = {v^2_{rms} \over R}$

Yllä on laskettu keskimääräinen teho aikajakson $T$ yli. Seuraavaksi ratkaistaan jännitteen tehollisarvo $v r m s$ .

$v_{rms} = \sqrt{{1 \over T} \int_{t_0}^{t_0+T} \, v^2(t)\, dt}$ .

Vaihtojännitteen tehollisarvon laskentakaava on helppo muistaa, sillä lyhenne RMS kertoo suoraan laskutavan, Root-Mean-Square. Muistisääntöä pitää vain lukea takaperin. Ensin korotetaan hetkellinen jännite toiseen, otetaan tästä keskiarvo ja lopuksi vielä neliöjuuri.