Équation de Weierstrass
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L'équation de Weierstrass, aussi appelée forme de Weierstrass, correspondant à une courbe elliptique donne une forme simplifiée de son équation. Cette forme dépend de la caractéristique du corps K sur lequel la courbe elliptique est définie (d'où ses coefficients proviennent).
Il y a trois types d'équations de Weierstrass.
- Si la caractéristique de K est supérieure à 3 (ce qui inclut les cas où elle est infinie, quand K est isomorphe aux nombres réels, aux nombres complexes ou aux nombres rationnels) alors l'équation de Weierstrass pour une courbe elliptique est de la forme
- où a,b sont des éléments de K.
- Si la caractéristique de K est de 3, c'est-à-dire que K est isomorphe au corps fini sur 3r éléments, alors l'équation de Weierstrass pour une courbe elliptique est de la forme
- où a,b,c sont des éléments de K.
- Si la caractéristique de K est de 2, c'est-à-dire que K est isomorphe au corps fini sur 2r éléments, alors l'équation de Weierstrass pour une courbe elliptique est de la forme
- où a,b,c,d,e sont des éléments de K. Dans ce cas, l'une des deux simplifications suivantes est aussi applicable:
- y2 + cy = x3 + ax + c, où a,b,c sont des éléments de K.
-
- y2 + xy = x3 + ax + b, où a,b sont des éléments de K.
La simplification de la forme générale y2 + a1xy + a3y = x3 + a2x2 + a4x + a6 à la forme de Weierstrass peut se faire par le procédé du changement de variable.
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