Équations de Lagrange (démonstration)
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Étant donné un système de coordonnées quelconque xi, une variable τ permettant de paramétrer les trajectoires, on considère une fonction L qui ne dépend que des variables xi et leur dérivée totale par rapport à τ 
. On veut trouver les trajectoires 
d'extrémitées données τ1 et τ2, qui minimisent l'intégrale
Considérons une trajectoire infiniment voisine 
avec ε un infiniment petit et 
. Supposant que les solutions sont trouvées et 
donné, la fonction
est minimale pour ε = 0 :
![0 = \left[ \frac{dS}{d\epsilon} \right] \left(0\right) = \int_{\tau_1}^{\tau_2} \left( \xi\left(\tau\right) \frac{\partial L}{\partial x_i} + \dot{\xi}\left(\tau\right) \frac{\partial L}{\partial \dot{x_i}} \right)d\tau](../../../math/d/5/c/d5c65eb02365af8d2e3241bfd32b4d05.png)
Intégrant par parties le second terme sous l'intégrale et profitant du fait que ξ a été supposée nulle aux bornes, on a
Comme la fonction ξ est quelconque, on doit avoir
- En mécanique classique, le paramètre est le temps et ces équations sont les équations de Lagrange proprement dites.
- Si le paramètre est la longueur de la trajectoire, ces équations fournissent l'équation géodésique.
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