Algèbre graduée
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En mathématiques, en algèbre linéaire, on appelle algèbre graduée une algèbre (ou un anneau commutatif) dotée d'une structure supplémentaire, appelée graduation.
[modifier] Définition
Soit K un corps (ou éventuellement un anneau commutatif). Une algèbre A est dite graduée (parfois 
-graduée) s'il existe une famille de sous-espaces vectoriels 
de A tels que
.
Les éléments de Ai sont appelés homogènes de degré i. Un idéal est dit homogène si, pour chaque élément a qu'il contient, il contient également les parties homogènes de a.
Tout anneau (non gradué) A peut être doté d'une graduation en posant A0 = A, et Ai = 0 pour tout i > 0. Cette structure est appelée graduation triviale de A.
[modifier] Exemples
- Les anneaux de polynômes, pour lesquels les éléments homogènes sont les polynômes de degré n.
- L'algèbre tensorielle T(V) sur un espace vectoriel V, où les éléments homogènes de degré n sont les tenseurs de la forme
. - L'algèbre symétrique S(V) et l'algèbre extérieure Λ(V) sont des algèbres graduées. Plus généralement, si un idéal I d'une algèbre graduée A est gradué (i.e.
), le quotient A / I est également gradué.
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