Axiome d'Archimède
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L'axiome d'Archimède est une propriété utilisée dès l'Antiquité. Il s'applique aux grandeurs ayant une raison entre elles, ce qui, selon le livre V des Eléments d'Euclide, signifie :
Des grandeurs sont dites avoir une raison entre elles lorsque ces grandeurs, étant multipliées, peuvent se surpasser mutuellement.
Archimède attribue en fait cet axiome à Eudoxe, dont on pense qu'il est l'auteur des livres V et XII des Eléments d'Euclide. L'axiome s'applique aux longueurs, aux aires, aux volumes, aux angles rectilignes. Cette propriété est utilisée dans le livre V des Eléments pour définir la notion de proportion entre grandeurs. Elle permet de prouver la proposition 1 du livre X des Eléments, qui est fréquemment utilisée dans la méthode d'exhaustion :
Deux grandeurs inégales étant proposées, si l'on retranche de la plus grande une partie plus grande que sa moitié, si l'on retranche du reste une partie plus grande que sa moitié, et si l'on fait toujours la même chose, il restera une certaine grandeur qui sera plus petite que la plus petite des grandeurs proposées.
Dans le sens moderne, on donne le nom d'archimédien à des structures dont les éléments vérifient une propriété analogue à la propriété historique précédente.
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