Axiome d'Euclide
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L'axiome d'Euclide, axiome des parallèles ou cinquième postulat d'Euclide, dû à Euclide, est un axiome du plan : « Par un point extérieur à une droite, on peut mener une et une seule parallèle à cette droite ».
Avec les recherches de Lobatchevsky, Poincaré, Riemann, et Klein, on a pu trouver d'autres géométries possibles et non-contradictoires en conservant les 4 premiers axiomes et en changeant le cinquième, elles sont appelées géométrie non euclidiennes.
Dans certaines géométries, la somme des angles d'un triangle est supérieure à 180° (géométrie elliptique), dans d'autres elle est inférieure à 180° (géométrie hyperbolique). Par exemple, en modifiant le 5e axiome ainsi : « Par un point extérieur à une droite, on peut faire passer une infinité de droites parallèles à cette droite, et toutes différentes », on obtient la géométrie hyperbolique. Avec cet axiome, le théorème de Pythagore est faux la plupart du temps.
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