Composantes d'un vecteur

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En algèbre linéaire, les composantes d'un vecteur sont une représentation explicite d'un vecteur d'un espace vectoriel par une famille de nombres, ou par un élément de l'espace vectoriel $K n$ , $K$ étant un corps commutatif.

Les composantes des vecteurs (d'un espace vectoriel de dimension finie) permettent de ramener des calculs vectoriels à des calculs sur des tableaux de nombres ( $n$ -uplets, matrices, vecteurs colonnes) qui peuvent être effectués explicitement.

Sommaire

1 Définition
2 Application composantes
3 Exemples
- 3.1 Exemple 1
- 3.2 Exemple 2

[modifier] Définition

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ sur un corps commutatif $K$ et soit $\mathcal{B} = \left( b_1, b_2, \ldots, b_n \right)$ une base de $E$ .

Alors pour tout vecteur $v$ de $E$ , il existe une unique combinaison linéaire des vecteurs de la base, égale à $v$ :

$v = \alpha _1 b_1 + \alpha _2 b_2 + \cdots + \alpha _n b_n$

D'après l'une des propriétés des bases, les scalaires $α i$ où $i\in \{1, \ldots, n\}$ sont déterminés de façon unique par $v$ et $\mathcal{B}$ .

Maintenant, les composantes (ou les coordonnées) de $v$ dans la base $\mathcal{B}$ ou relativement à la base $\mathcal{B}$ , sont par définition la famille $\left(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\right)$ . Les composantes peuvent aussi être représentées en colonne sous forme d'une matrice:

$\begin{pmatrix} \alpha _1 \\ \vdots \\ \alpha _n \end{pmatrix}.$ .

La matrice est appelée matrice colonne des composantes (ou des coordonnées) ou vecteur colonne des composantes de $v$ .

Cette matrice est parfois notée $M_{\mathcal{B}}(v)$ , $Mat_{\mathcal{B}}(v)$ ou encore $[v]_{\mathcal{B}}$ .

Pour $i\in\{1,\ldots,n\}$ , le scalaire $α i$ est appelé la $i$ ème composante ou $i$ ème coordonnée du vecteur $v$ .

[modifier] Application composantes

Considérons $E$ étant un espace vectoriel sur un corps commutatif $K$ , muni d'une base $\mathcal{B}=\left( b_1, b_2, \ldots, b_n \right)$ .

Le mécanisme précédent qui fait correspondre à un vecteur ses composantes peut être décrit par l'application $\varphi_{\mathcal{B}}$ qui à un vecteur $v$ de $E$ associe ses composantes dans la base $\mathcal{B}$ et définie par:

$\forall v\in E, \varphi_{\mathcal{B}}(v)=\left(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\right)$ ,

où $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ appartiennent à $K$ et vérifient $v=\alpha_1.b_1+\cdots+\alpha_n.b_n$ .

Alors $\varphi_{\mathcal{B}}$ est une application linéaire de $E$ dans $K n$ .

En fait cette application est un isomorphisme, et sa réciproque $\varphi_{\mathcal{B}}^{-1}:K^n\to E$ est définie par

$\forall (\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\in K^n, \varphi_{\mathcal{B}}^{-1}(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)=\alpha_1 b_1+\cdots+\alpha_n b_n.$

Il est aussi possible de commencer par définir $\varphi_{\mathcal{B}}^{-1}$ l'application réciproque de l'application du début, de constater que $\varphi_{\mathcal{B}}^{-1}$ est un isomorphisme, puis de définir $\varphi_{\mathcal{B}}$ comme son application réciproque.

Remarque: Même si cette application permet d'identifier un vecteur de $E$ à ses composantes, il est hors de question de confondre les deux, puisque les coordonnées d'un vecteur dépendent en général de la base choisie.

[modifier] Exemples

[modifier] Exemple 1

Soit $\mathbb{R}_3[x]$ l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur à 4 (c'est-à-dire dont la plus grande puissance de $x$ est 4). Cet espace est engendré par la partie suivante:

{1, x, x 2, x 3}

et la famille $\mathcal{B}=(1, x, x^2, x^3)$ est une base de cet espace.

La matrice colonne des composantes dans cette base du polynôme

$p \left( x \right) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3$

s'écrit $\begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}$ .

Relativement à cette base, l'opérateur de dérivation $\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}$ que nous noterons $D$ qui à $p$ associe $D p = p'$ est représenté par la matrice suivante:

$Mat_{\mathcal{B}}(D) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$

En utilisant cette représentation il est aisé de déterminer les propriétés de l'opérateur: comme l'inversibilité, s'il est hermitien ou anti-hermitien ou rien du tout, son spectre ses valeurs propres etc.