Constante de Champernowne

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En mathématiques, la constante de Champernowne, noté $C_{10}\,$ est un nombre réel, nommé ainsi en l'honneur du mathématicien D. G. Champernowne. C'est un nombre simple à construire, qui possède certaines propriétés importantes.

[modifier] Normalité

Nous dirons qu'un nombre réel x est normal en base b si, en examinant ses chiffres, nous sommes certains que, quel que soit le chiffre que nous choisissons, il apparaîtra autant que les autres, ou de façon équivalente, la probabilité de trouver une certaine chaîne de chiffres parmi les chiffres de x est la même si nous l'avions cherchée parmi une chaîne de chiffre prise au hasard. Voir l'article sur les nombres normaux pour de plus amples explications.

Si nous notons une chaîne de chiffres par $[a_0,a_1,\ldots]\,$ , alors en base 10, nous nous attendrions à voir apparaître chacune des chaînes [0],[1],[2],...,[9] avec une probabilité égale à 1/10, chacune des chaînes [0,0],[0,1],...,[9,8],[9,9] avec une probabilité égale à 1/100, et ainsi de suite, dans un nombre normal.

Suivant la définition, est-il possible de construire un nombre normal ? Naturellement, on pourrait considérer la concaténation des chaînes [0],[1],[2],...,[9] pour satisfaire la première condition, puis la concaténation des chaînes [0,0],[0,1],...,[9,8],[9,9] pour satisfaire la deuxième condition, et ainsi de suite.

C'est précisément de cette façon que la constante de Champernowne a été définie.

En base 10, nous avons

$C_{10} = 0,12345678910111213141516\dots$

Il est, de façon claire, normal en base 10. Nous pouvons créer des constantes de Champernowne qui sont normales dans les autres bases, de manière similaire, par exemple,

$C_2 = 0,1\,10\,11\,100\,101\,110\,111\dots {}_2$

$C_3 = 0,1\,2\,10\,11\,12\,20\,21\,22\dots {}_3$

et ainsi de suite.

[modifier] Calculs

$Les premiers 162 et une partie du 163ème terme dans la fraction continuée de la constante de Champernowne décimale$

Les premiers 162 et une partie du 163ème terme dans la fraction continuée de la constante de Champernowne décimale

Le calcul de la constante de Champernowne peut être fait par la concaténation des chaînes de bits sur un ordinateur, mais ce n'est pas nécessairement la manière la plus rapide pour le calcul. Souvent, le calcul de la constante est plus rapide s'il est fait de manière purement numérique.[1]

Une des méthodes inclut le calcul par les fractions continuées d'un nombre. Calculer cette forme peut aussi nous aider à analyser le nombre.

Normalement en considérant une fraction, nous prenons un certain nombre réel y que nous divisons en un quotient de deux entiers a et b ainsi y = a/b, la fraction continuée prend un nombre réel y et le divise de la manière suivante

$y = a_0+ {1 \over a_1 + {1 \over a_2 + {1 \over a_3 + {1 \over a4 + \ddots } } } }$

que nous pouvons écrire de manière plus compacte par [a₀; a₁, a₂, ...].

Par exemple, si l'on considère le nombre $e\,$ :

$e=2,718281828\cdots = 2 + {1 \over 1 + {1 \over 2 + {1 \over 1 + {1 \over 1 + \ddots } } } } = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, \cdots]$

Les termes dans la fraction continuée s'arrêtent après un certain point si le nombre est rationnel, et continuent indéfiniment si le nombre est irrationnel. De façon claire, la constante de Champernowne est irrationnelle, puisque les nombres rationnels ont un développement décimal répétitif ou terminé. La fraction continuée de la constante de Champernowne ne se termine pas.

Si nous arrêtions la fraction continuée après un certain point pour un nombre rationnel, nous obtiendrions une approximation de ce nombre sous forme d'une simple fraction. Plus nous prendrions de termes, plus l'approximation serait précise. Par exemple,

e - [2; 1, 2, 1, 1] = 2,714285714, e - [2; 1, 2, 1, 1] = 0,003996114

e - [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1] = 2,718281718, e - [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1] ~ 1.10 ×10^-7

Si nous examinons la fraction continuée de la constante de Champernowne, nous obtenons un certain comportement erratique. En base 10,

$C_{10} = [0; 8, 9, 1, 149083, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 1, 15, \,$

$45754\,01113\,91031\,07648\,36466\,28242\,95611\,85996\,03939\,71045\,75550\,00662\,00439\,30902\,62659\,25631\,49379\,53207\,74712\,86563$

$1\,38641\,20937\,55035\,52094\,60718\,30899\,84575\,80146\,98631\,48833\,59214\,17830\,10987$

$6, 1, 1, 21, 1, 9, 1, 1, 2, 3, 1, 7, 2, 1, 83, 1, 156, 4, 58, 8, 54,\cdots ]$

Nous obtenons d'autres nombres extrêmement grands comme parties de la fraction continuée si nous continuons. Le prochain terme de la fraction continuée est énorme, il possède 2 504 chiffres. Ceci peut poser des problèmes dans le calcul des termes de la fraction continuée, et peut perturber les algorithmes faibles de calcul de fraction continuée. Néanmoins, le fait qu'il existe de grands nombres comme parties du développement de la fraction continuée veut dire que si nous prenons les termes au-dessus et au-dessous ces grands nombres, nous obtenons une bonne approximation excédentaire en comparaison du grand nombre que nous n'avons pas inclus. En appelant K le grand nombre ci-dessus en position 19 dans la fraction continuée, alors, par exemple,

C₁₀ - [0; 8, 9, 1, 149083, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 1, 15] ~ -9 ×10^-190

C₁₀ - [0; 8, 9, 1, 149083, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 1, 15, K] ~ 3 ×10^-356

qui est une amélioration de précision par 166 ordres de grandeur.

[modifier] Références

D. G. Champernowne, The construction of decimals normal in the scale of ten, Journal of the London Mathematical Society, vol. 8 (1933), p. 254-260
Rytin, M. Champernowne Constant and Its Continued Fraction Expansion, (1999), http://library.wolfram.com/infocenter/MathSource/2876/

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