Continuité uniforme

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En topologie, la continuité uniforme est une définition plus contraignante que la continuité, et se définit dans les espaces métriques ou les espaces uniformes. Contrairement à la continuité, la continuité uniforme n'est pas une notion « purement topologique » c'est-à-dire ne faisant intervenir que des ouverts : sa définition dépend de la distance ou de la structure uniforme.

Sommaire

1 Continuité uniforme dans un espace métrique
- 1.1 Définition
- 1.2 Exemples
2 Résultats importants
3 Intérêt de la notion d'uniforme continuité

[modifier] Continuité uniforme dans un espace métrique

[modifier] Définition

Soient $(E,d) \,\!$ et $(F,\delta) \,\!$ deux espaces métriques, et $f \ : \ E \rightarrow F \,\!$ une application de $E \,\!$ vers $F \,\!$ .

On dira que $f \,\!$ est uniformément continue si et seulement si :

$\forall \varepsilon > 0 ,\ \exists \eta > 0 \ / \ \forall(x,y)\in E\times E, \ d(x,y) < \eta \ \Rightarrow \ \delta(f(x),f(y)) <\varepsilon \,\!$

NB: La continuité « simple » de $f \,\!$ s'écrit par comparaison :

$\forall x \in E, \ \forall \varepsilon > 0 ,\ \exists \eta > 0 \ / \ \forall y \in E, \ d(x,y) < \eta \ \Rightarrow \ \delta(f(x),f(y)) <\varepsilon \,\!$

On comprend alors le sens du mot « uniforme » : le choix de $\eta \,\!$ en fonction de $\varepsilon \,\!$ ne dépend pas du point considéré, il est uniforme sur $E \,\!$ .

Cas des fonctions d'une variable réelle et à valeurs réelles

Dans le cas où l'espace de départ $E \,\!$ et l'espace d'arrivée $F \,\!$ sont des intervalles de $\mathbb R$ , la définition s'écrit :

$\forall \varepsilon > 0 ,\ \exists \eta > 0 \ / \ \forall(x,y)\in E\times E, \ |x-y| < \eta \ \Rightarrow \ |f(x)-f(y)| < \varepsilon \,\!$

[modifier] Exemples

Exemple 1 : $f_1 : \R_+ \rightarrow \R, \ x \mapsto \sqrt{x} \,\!$

$f_1 \,\!$ est uniformément continue ; en effet :

Soit $\varepsilon > 0 \,\!$ . Comme la fonction $f_1 \,\!$ est concave on a pour tous $x,y \in \R_+ \,\!$ :

$|\sqrt{x}-\sqrt{y}| \leq \sqrt{|x-y|} \,\!$ .

Posons alors $\eta = \varepsilon^2 \,\!$ ; si $x,y \in \R_+ \,\!$ vérifient $|x-y|\leq\eta \,\!$ alors :

$|f_1(x)-f_1(y)| = |\sqrt{x}-\sqrt{y}| \leq \sqrt{|x-y|} \leq \sqrt{\eta} = \varepsilon \,\!$ , ce qu'il fallait démontrer.

Exemple 2 : $f_2 : \R_+ \rightarrow \R, \ x \mapsto x^2 \,\!$

$f_2 \,\!$ n'est pas uniformément continue ; en effet, montrons que :

$\exists \varepsilon > 0,\ \forall \eta > 0,\ \exists (x,y) \in \R_+ \times \R_+ \ , |x-y| \leq \eta \ et \ |f_2(x)-f_2(y)|>\varepsilon \,\!$ .

En fait $\varepsilon = 1 \,\!$ convient. Pour n'importe quel $\eta > 0 \,\!$ on choisit $x=\frac{1}{\eta}+\eta \,\!$ et $y=\frac{1}{\eta} \,\!$ . Alors $|x-y| \leq \eta \,\!$ et $|f_2(x)-f_2(y)|=|(\frac{1}{\eta^2}+2\eta \frac{1}{\eta}+\eta^2)-\frac{1}{\eta^2}|=|2+\eta^2|>\varepsilon \,\!$ , ce qu'il fallait démontrer.

[modifier] Résultats importants

[modifier] Fonctions lipschitziennes

Soit $\ I$ un intervalle quelconque de $\mathbb{R}$ . Toute fonction lipschitzienne $\ f : I \to \R$ est uniformément continue.

En particulier, si $\ f$ est dérivable et de dérivée bornée sur $\ I$ , alors $\ f$ est uniformément continue.

[modifier] Théorème de Heine

Soient $(E,d) \,\!$ et $(F,\delta) \,\!$ deux espaces métriques, et une application continue $f \ : \ E \to F \,\!$ .

Si $\ E$ est compact, alors $\ f$ est uniformément continue.

En particulier, toute fonction $\ f : [a,\, b] \to \R \,\!$ continue sur le segment $\ [a,\, b]$ de $\ \R$ est uniformément continue.

[modifier] Prolongement par continuité

Toute fonction uniformément continue à valeurs réelles se prolonge par continuité sur l' adhérence de son espace de départ. Cette propriété est utilisée parfois pour définir des fonctions importantes comme l'intégrale ou l'exponentielle.

[modifier] Intérêt de la notion d'uniforme continuité

[modifier] Approximation uniforme des fonctions continues par les fonctions en escalier

Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a, b]$ et soit $\varepsilon > 0$ . Alors il existe une fonction en escalier $\varphi$ sur $[a, b]$ , telle que :

$\forall x \in [a,b], |f(x) - \varphi(x)| < \varepsilon$

On utilise pour cela le fait que $f$ est en fait uniformément continue (théorème de Heine), et on découpe l'intervalle $[a, b]$ en $n$ sous-intervalles de longueur ${b-a \over n}$ inférieure au $η$ intervenant dans la définition de l'uniforme continuité. On montre alors que la fonction $\varphi$ valant $f (a + k (b - a) / n)$ sur l'intervalle $[a + k (b - a) / n, a + (k + 1)(b - a) / n]$ convient.

[modifier] Définition de l'intégrale de Riemann

Soit $E$ l'espace vectoriel des fonctions bornées sur l'intervalle $[a, b]$ , muni de la norme de la convergence uniforme. Soit $F$ le sous-espace des fonctions en escalier sur $[a, b]$ . Il est aisé de définir l'intégrale $I(\varphi)$ d'une telle fonction en escalier $\varphi$ , au moyen d'une somme finie $I(\varphi) =\sum_{i=0}^{n-1} (a_{i+1}-a_i) \varphi_i$ si $\varphi$ est constante égale à $\varphi_i$ sur l'intervalle $] a i, a i + 1 [$ , les $a i$ constituant une subdivision de $[a, b]$ . On montre alors que $I$ est une fonction lipschitzienne sur $F$ , donc uniformément continue, donc se prolonge à l'adhérence de $F$ dans $E$ . Cette adhérence constitue l'espace des fonctions réglées, et contient les fonctions continues. On a défini ainsi l'intégrale de Riemann des fonctions réglées.

[modifier] Approximation des fonctions continues par les polynômes

Soit $f$ une fonction bornée sur $[0,1]$ . Considérons la suite de polynômes :

$P_n(x) = \sum_{k=0}^n f({k \over n}) {n \choose k} x^k (1-x)^{n-k}$

Si $f$ est continue en $x$ , on montre que la suite $(P n (x))$ converge vers $f (x)$ . Mais si $f$ est continue sur $[0,1]$ et donc uniformément continue, on montre que la suite $(P n)$ converge uniformément vers $f$ sur $[0,1]$ . Ce résultat constitue une version constructive du théorème de Weierstrass.

[modifier] Image d'une suite de Cauchy

Soient $E$ et $F$ deux espaces métriques, et $f \ : \ E \rightarrow F \,\!$ une application de $E \,\!$ vers $F \,\!$ .

Si $f$ est continue, alors l'image par $f$ d'une suite convergente de $E$ est une suite convergente de $F$ .

Mais si $f$ est uniformément continue, alors l'image par $f$ d'une suite de Cauchy de $E$ est une suite de Cauchy de $F$ . Cette propriété est cruciale pour le théorème de prolongement des fonctions uniformément continues cité plus haut, et permet de le généraliser aux fonctions uniformément continues à valeurs dans un espace complet