Cube de Hilbert
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En topologie, on appelle cube de Hilbert l'espace produit ![K=[0,1]^\N](../../../math/a/5/1/a51cc945fe1f55354fe290de98aba4c8.png)
muni de la topologie produit. D'après le théorème de Tychonoff, c'est un espace compact.
Il est homéomorphe à ![[0,1] \times [0,1/2] \times [0,1/3] \times \cdots](../../../math/f/7/2/f72105698ae439a91806d39abd906fd7.png)
, ou à l'espace des suites 
, telles que 
, muni de la distance 
. Il s'agit donc d'un espace métrisable.
Il est à base dénombrable (en fait, pour un espace compact, être métrisable ou être à base dénombrable sont des propriétés équivalentes), et possède la propriété universelle suivante :
-
- Tout espace métrisable à base dénombrable est homéomorphe à un sous-espace de K.
Cela fournit en particulier un moyen commode pour compactifier les espaces métrisables à base dénombrable, et aussi un critère pour les classifier selon leur complexité ; par exemple un espace est polonais si et seulement si il est homéomorphe à l'intersection d'une suite d'ouverts de K. On en déduit aussi que tout espace mesurable dénombrablement engendré et séparé est isomorphe à une partie de K munie de la tribu induite par la tribu borélienne de K.
[modifier] Voir aussi
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