Dérivées fractionnaires

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Outils en analyse mathématiques élaborés à partir de la transformation de Fourier (lorsque l'opérateur agit sur une variable d'espace), ou la transformation de Laplace (lorsque l'opérateur agit sur la variable de temps).

On peut définir par le même procédé des intégrations fractionnaires. Ces dérivées ou intégrations fractionnaires rentrent dans le cadre plus général des opérateurs pseudo-différentiels.

Ces dérivées fractionnaires sont utilisées par exemple dans certains domaines de la physique faisant intervenir des phénomènes de diffusion comme l'électromagnétisme, l'acoustique ou la thermique, en définissant des opérateurs pseudo-différentiels diffusifs, avec conditions de bord à "géométrie fractale".

Début de traduction de l'article anglais :

En mathématiques, l' analyse fractionnaire est une branche de l'analyse mathématique qui étudie la possibilité qu'un opérateur différentiel puisse être élevé à une puissance réelle.

$D = \frac{d}{dx} .$

Ceci vaut aussi pour un opérateur d'intégration J. ()

Dans ce contexte, puissances fait référence à une application itérative, dans le même sens que pour

f ²(x) = f(f(x)).

Par exemple, on peut se demander comment interpréter convenablement

$\sqrt{D} = D^{1/2} \,$

comme la racine carrée de l' opérateur de dérivation (un opérateur à moitié itéré), c'est-à-dire une expression d'un certain opérateur qui, lorsquelle est appliquée deux fois à une fonction aura le même effet que la dérivation. Plus généralement, on peut examiner le problème de définir

$D^s \,$

pour des valeurs réelles de s, de telle sorte que lorsque s prend une valeur entière n, on récupère la dérivation n-ième usuelle pour n > 0, [...].

...

On peut ainsi arriver à quelques formules de base, permettant d'évaluer des dérivées "fractionnaires" dans quelques cas simples :

$\mathbb{D}^{q}(x^n)=\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n+1-q)}x^{n-q}$

$\mathbb{D}^{q}(\sin(x))=\sin \left( x+\frac{q\pi}{2} \right)$

$\mathbb{D}^{q}(e^{ax})=a^{q}e^{ax}$

Ces formules sont issues de l'article en anglais sur les differintegrales de Riemann-Liouville

[modifier] Références

Introduction au calcul fractionnaire, by Denis Matignon, dans Lois d'échelle, fractales et ondelettes', Hermes, Paris, 2002
Theory and Applications of Fractional Differential Equations, by Kilbas, A. A.; Srivastava, H. M.; and Trujillo, J. J. Amsterdam, Netherlands, Elsevier, Febrary 2006. ISBN 0-444-51832-0 (http://www.elsevier.com/wps/find/bookdescription.cws_home/707212/description#description)
An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations, by Kenneth S. Miller, Bertram Ross (Editor). Hardcover: 384 pages. Publisher: John Wiley & Sons; 1 edition (May 19, 1993). ISBN 0-471-58884-9
The Fractional Calculus; Theory and Applications of Differentiation and Integration to Arbitrary Order (Mathematics in Science and Engineering, V), by Keith B. Oldham, Jerome Spanier. Hardcover. Publisher: Academic Press; (November 1974). ISBN 0-12-525550-0
Fractional Differential Equations. An Introduction to Fractional Derivatives, Fractional Differential Equations, Some Methods of Their Solution and Some of Their Applications., (Mathematics in Science and Engineering, vol. 198), by Igor Podlubny. Hardcover. Publisher: Academic Press; (October 1998) ISBN 0-12-558840-2
Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics, by A. Carpinteri (Editor), F. Mainardi (Editor). Paperback: 348 pages. Publisher: Springer-Verlag Telos; (January 1998). ISBN 3-211-82913-X
Physics of Fractal Operators, by Bruce J. West, Mauro Bologna, Paolo Grigolini. Hardcover: 368 pages. Publisher: Springer Verlag; (January 14, 2003). ISBN 0-387-95554-2
Fractional Calculus and the Taylor-Riemann Series, Rose-Hulman Undergrad. J. Math. Vol.6(1) (2005).
Operator of fractional derivative in the complex plane, by Petr Zavada, Commun.Math.Phys.192, pp. 261-285,1998. doi:10.1007/s002200050299 (available online or as the arXiv preprint)
Relativistic wave equations with fractional derivatives and pseudodifferential operators, by Petr Zavada, Journal of Applied Mathematics, vol. 2, no. 4, pp. 163-197, 2002. doi:10.1155/S1110757X02110102 (available online or as the arXiv preprint)