Distribution de Dirac

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L'exemple canonique de distribution est la distribution de Dirac, qu'on peut s'imaginer, de façon informelle, comme une fonction de R dans R qui vaudrait zéro partout, sauf à l'origine, et dont l'intégrale sur R vaudrait 1 (en réalité, aucune fonction ordinaire n'a ces propriétés).

$\int \delta(t) \ dt \ = \ 1$

Cette distribution sert en physique à décrire des événements ponctuels. Pour les besoins du formalisme quantique, Dirac a introduit un objet singulier, qu'on appelle aujourd'hui impulsion de Dirac, notée $δ(t)$ . En outre, cette impulsion représente un signal de durée théoriquement nulle et d'énergie finie.

Le delta de Dirac (appelé aussi fonction delta de Dirac) est la distribution qui envoie une fonction test $\varphi$ sur $\varphi(0)$ . C'est la dérivée de la fonction de Heaviside, $H$ définie par $H (x) = 0$ si $x < 0$ et par $H (x) = 1$ si $x \ge 0$ . C'est une mesure discrète de probabilité : celle dont toute la masse est concentrée à l'origine.
La dérivée du delta de Dirac est la distribution qui envoie une fonction test $\varphi$ sur $-\varphi'(0)$ . Cette dernière distribution est notre premier exemple de distribution qui ne soit ni une fonction ni une mesure.

Sommaire

1 Propriétés
- 1.1 Convolution
- 1.2 Transformée de Fourier
2 Distribution de Dirac en dimension supérieure

[modifier] Propriétés

[modifier] Convolution

Soit $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\,$ une fonction continue, on a alors :

$\int _{-\infty}^{+\infty} \delta(t-t_0).f(t) \ dt \ = \ f(t_0) \,$

La distribution de Dirac est donc un élément neutre pour l'opération de convolution, notée $*\,$

$f*\delta=f\,$

[modifier] Transformée de Fourier

La transformée de Fourier de la distrution de Dirac est la fonction constante égale à un

$\hat{\delta}(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}\ \delta(t)\ e^{-i\omega t}\ {\rm d}t=1 \,$

Ce qui est utilisé en traitement du signal notamment. On dit qu'un signal correspondant à une distribution de Dirac a un spectre blanc. C'est à dire que chaque fréquence est présente avec une intensité identique. Cette propriété permet d'analyser la réponse fréquentielle d'un système sans avoir à balayer toute les fréquences.