Droite réelle achevée
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En mathématiques, la droite réelle achevée désigne l'ensemble 
constitué des nombres réels auxquels on adjoint deux éléments notés 
et 
(qui ne sont pas considérés comme des nombres réels) vérifiant les propriétés suivantes :
- pour tout réel x, x < ,
- pour tout réel x, x >
L'addition et la multiplication définis sur l'ensemble des réels restent valables dans la droite achevée, de sorte que :
- Addition : pour tout réel x,
x + () = ()
x + () = ()
() + () = ()
() + () = ()
- Multiplication : pour tout réel strictement positif x (x > 0),
= ()
= ()
- pour tout réel strictement négatif x (x < 0),
= ()
= ()
(
) = ()
(
) = ()
(
) = ()
- en revanche, les expressions
() + (),
et
n'ont aucun sens.
L'une de ses particularités notables est que tout ensemble inclus dans la droite réelle achevée admet une borne supérieure et une borne inférieure, y compris l'ensemble vide (noté ∅, et qui dans la droite réelle achevée admet en tant que borne INFERIEURE, et en tant que borne SUPERIEURE).
Cet ensemble est très utile en analyse, et particulièrement dans certaines théories de l'intégration.
[modifier] Voir aussi
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