Escalier de Cantor

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L'escalier de Cantor, ou l'escalier du diable, est le graphe d'une fonction continue $f\,$ sur $[0,1]\,$ , telle que $f(0)=0\,$ , $f(1)=1\,$ , qui est dérivable presque partout, la dérivée étant presque partout nulle.

[modifier] Quelques rappels d'analyse élémentaire

Soit $f\,$ une fonction continue sur un intervalle $I\subset\mathbb{R}$ , de dérivée $f^\prime$ . Si $f^\prime$ s'annule sur $I\,$ , alors $f\,$ est constante. C'est une conséquence immédiate du théorème des accroissements finis.

La même conclusion est valable si on suppose seulement que la dérivée existe (et s'annule) sur le complémentaire d'un ensemble dénombrable. Pour la preuve, beaucoup plus subtile, voir par exemple le cours d'analyse de Roger Godement.

Mais ce dernier résultat est optimal.

[modifier] Construction

On suit pas à pas la construction de l'ensemble de Cantor $K_3\,$

On prend $f_0(x)=x\,$ . La fonction $f_1\,$ est la fonction affine par morceaux qui vaut 0 en 0, 1 en 1, et $\frac{1}{2}\,$ sur $[1/3,2/3]\,$

On passe de même de $f_n\,$ à $f_{n+1}\,$ en remplaçant, $f_n\,$ , sur chaque intervalle $[u,v]\,$ où elle n'est pas constante, par la fonction linéaire par morceaux qui vaut $\frac{f_n(u)+f_n(v)}{2}$ sur $[\frac{2u}{3}+\frac{v}{3},\frac{2v}{3}+\frac{u}{3}]$

Alors on vérifie que pour tout $x,\vert f_{n+1}(x)-f_n(x)\vert\le 2^{-n}$ , ce qui montre que la série de fonctions $\sum_{n=0}^\infty f_{n+1}-f_n$ converge uniformément, et donc que la suite $f_n\,$ converge uniformément. La fonction limite $f\,$ est continue, monotone, et l'on a $f(0)=0\,$ , $f(1)=1 \,$ comme annoncé. De plus, $f\,$ a une dérivée nulle sur le complémentaire de l'ensemble de Cantor $K_3\,$ , puisque ce complémentaire est une réunion d'intervalles sur lesquels $f\,$ , par construction, est constante (d'où le nom d'escalier !)

[modifier] Que nous apprend cet exemple ?

L'intégrale de Lebesgue est très souple d'emploi. Mais il y a un prix à payer : les relations entre intégrale et dérivée sont beaucoup plus subtiles que dans le cas de l'intégrale des fonctions réglées. Il est vrai (mais non trivial), que si $f\,$ est une fonction mesurable bornée sur $\mathbb{R}$ , la fonction $x\mapsto \int_a^x f(t)dt$ est presque partout dérivable et de dérivée f(x). Mais il est faux que toute fonction presque partout dérivable, soit égale à l'intégrale de sa dérivée, même si cette dernière est $L^1\,$ .