Espace L∞
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En mathématiques, l'espace 
est un des espaces classiques de l'analyse fonctionnelle. Il est constitué de fonctions qui sont bornées, modulo la relation d'égalité presque partout. Il s'agit d'un espace de Banach qui vient s'ajouter à la famille des espaces Lp de fonctions dont la p-ième puissance est intégrable.
[modifier] Définition
[modifier] Borne supérieure essentielle
Soit un espace mesuré 
et 
une fonction à valeurs réelles sur X. Un réel a est appelé un presque majorant de f si l'ensemble
est de mesure nulle, c'est-à-dire si 
pour presque tout élément x de X. Si f admet un presque majorant, on peut définir sa borne supérieure essentielle qui est le plus petit des presque majorants.
On peut définir de façon analogue la notion de borne inférieure essentielle et, bien sûr, pour une fonction bornée, les bornes et bornes essentielles sont reliées par
[modifier] Fonctions essentiellement bornées
La fonction f est dite essentiellement bornée lorsque la fonction 
possède un presque majorant. On note alors
ce qui constitue une semi-norme sur l'espace vectoriel des fonctions essentiellement bornées.
L'espace est l'espace quotient obtenu en considérant les classes d'équivalence de fonctions essentiellement bornées pour la relation d'équivalence d'égalité presque partout. Il est muni de la norme 
obtenue par passage au quotient.
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