Espace vectoriel topologique

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Sommaire

1 Définition
2 Voisinages de l'origine
3 Voir aussi

[modifier] Définition

Un espace vectoriel topologique ("e.v.t") $\mathbb E$ est un espace vectoriel sur un corps $\mathbb K = \R \mbox{ ou }\mathbb C$ muni d'une topologie compatible avec la structure d'espace vectoriel, c'est à dire vérifiant les conditions suivantes :

La somme de deux vecteurs est une application continue de $\mathbb E \times \mathbb E$ dans $\mathbb E$ ,
Le produit d'un scalaire par un vecteur est une application continue de $\mathbb K \times \mathbb E$ dans $\mathbb E$ .

[modifier] Voisinages de l'origine

[modifier] Ensemble absorbant

Une partie $\quad U$ d'un e.v.t $\quad E$ sur $\mathbb K = \mathbb R$ ou $\mathbb C$ est absorbante si:

$\forall v \in E \quad \exists \alpha \in \mathbb R_+^*\quad \forall \lambda \in K \quad |\lambda|\le \alpha \Rightarrow \lambda v \in U$

Théorème

Tout voisinage de l'origine est un ensemble absorbant.

En effet si $\mathcal V$ est un voisinage de 0 et si v est un vecteur quelconque, il résulte de la continuité de l'application (partielle) de $\mathbb K$ dans $\mathbb E$ : $\lambda \mapsto \lambda v$ qu'il existe un voisinage de 0 dans $\mathbb K$ qu'on peut restreindre à $|\lambda|\le\alpha$ dont l'image est dans $\mathcal V$ et donc $|\lambda|\le\alpha \Rightarrow \lambda v \in \mathcal V$ .

[modifier] Ensemble symétrique

Une partie $\quad U$ d'un e.v.t $\quad E$ sur $\mathbb K = \mathbb R$ ou $\mathbb C$ est symétrique si :

$\forall v \in U \quad -v\in U$ .

[modifier] Ensemble équilibré

Une partie $\quad U$ d'un e.v.t $\quad E$ sur $\mathbb K = \mathbb R$ ou $\mathbb C$ est équilibrée si :

$\forall \lambda \in K \quad \forall v \in E\quad |\lambda|\le 1 \Rightarrow \lambda v \in U$

[modifier] Noyau équilibré d'une partie de E contenant l'origine

Le noyau équilibré N d'une partie A de E contenant 0 est la réunion des parties équilibrées de E incluses dans A. Ce noyau est non vide puisque {0} est une partie équilibrée incluse dans A. C'est un ensemble équilibré car toute réunion d'ensembles équilibrés est équilibrée (puisque si $x \in N$ x appartient à une partie équilibrée incluse dans N). N est donc le plus grand ensemble équilibré inclus dans A

Théorème

Soit $N$ le noyau équilibré d'un ensemble $A$ contenant l'origine. Pour que $\quad v \in N$ , il faut et il suffit que pour tout scalaire $\lambda\,$ vérifiant $|\lambda|\le 1$ on ait $\quad \lambda v \in$ A.

En effet si $v \in N$ alors pour tout scalaire $\quad \lambda$ vérifiant $|\lambda|\le 1$ on a $\lambda v \in N \in A$ .

Réciproquement si v vérifie la condition $|\lambda|\le 1 \Rightarrow \lambda v \in A$ , supposons que $v \not\in N$ . En posant $N'=N \cup \{\mu v / |\mu|\le 1\}$ on voit que N' est un ensemble équilibré inclus dans A et contenant strictement N, ce qui est contradictoire.