Fonction presque périodique

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Les fonctions presque périodiques (au sens de Harald Bohr) sont des fonctions dont les propriétés ressemblent aux fonctions périodiques.

[modifier] Définition

Soit f une fonction définie sur $\mathbb{R}$ Un réel non nul T est appelé une ε-presque période de f si :

$\sup_{t \in \mathbb{R}} ||f(t + T) - f(t)|| \leq \varepsilon$

On note E(f,ε) l'ensemble des ε-presque périodes de f. f est dite presque périodique si l'ensemble E(f,ε) est bien réparti pour tout ε > 0, c'est-à-dire que pour tout ε > 0, il existe un réel l > 0, tel que tout intervalle de longueur l a une intersection non nulle avec E(f,ε).

Par exemple, la fonction $t \mapsto \sin t + \sin \sqrt{2}t$ est presque périodique (bien qu'elle ne soit pas périodique).

[modifier] Propriétés

Si f et g sont presque périodiques, alors f + g et fg le sont aussi (contrairement aux apparences, ce résultat n'est pas trivial).
Une fonction périodique et continue est presque périodique.
Toute fonction presque périodique est bornée.
Toute fonction presque périodique est uniformément continue.
Si f est presque périodique et F est uniformément continue, alors $F \circ f$ est presque périodique.
Si une suite de fonctions presque périodiques converge uniformément vers une fonction f, alors f est presque périodique.
Théorème de Stone-Weierstrass pour les fonctions presque périodiques : l'ensemble des fonctions presque périodiques est l'adhérence dans l'espace des fonctions continues bornées de $\mathbb{C} = \{f, \exists (a_1, a_2, \dots, a_n) \in \mathbb{C}^n, \exists (\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n) \in \mathbb{R}^n, \forall t \in \mathbb{R}, f(t) = a_1e^{i\lambda_1 t} + \cdots + a_ne^{i\lambda_nt}\}$