Formule de Bethe

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La formule de Bethe, créée par Hans Bethe en 1933, décrit la perte d'énergie de particules chargées rapides (protons, particules alpha, ions atomiques mais pas electrons) en traversant la matière (ou le pouvoir d'arrêt du matériau).

Sommaire

1 La formule
2 Corrections de la formule de Bethe
3 Voir aussi
4 Weblinks

[modifier] La formule

La formule, c'est:

$- \frac{dE}{dx} = \frac{4 \pi}{m_e c^2} \cdot \frac{nz^2}{\beta^2} \cdot \left(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2 \cdot \left[\ln \left(\frac{2m_e c^2 \beta^2}{I \cdot (1-\beta^2)}\right) - \beta^2\right]$

où

$β$	$= v / c$
$v$	vitesse de la particule
$E$	énergie de la particule
$x$	longueur du chemin
$c$	vitesse de la lumière
$z\,e$	charge de la particule
$e$	charge de l'électron
$m e$	masse au repos de l'électron
$n$	densité numérique des électrons du matériau
$I$	potentiel d'excitation moyen du matériau

Ici, la densité numérique des électrons du matériau peut être calculée en utilisant $n=\frac{N_{A}\cdot Z\cdot\rho}{A}$ , où $ρ$ est la densité du matériau, Z et A le nombre atomique et nombre de masse, respectivement, et $N A$ le nombre d'Avogadro.

Pouvoir d'arrêt d'aluminium pour protons en fonction de l'énergie des protons, et la formule de Bethe

Dans l'image ci-contre, les petits cercles sont des résultats expérimentaux obtenus des auteurs variés (prises de http://www.exphys.uni-linz.ac.at/Stopping/); la courbe est la formule de Bethe. C'est évident que la formule de Bethe est en accord excellent avec les expériences à hautes énergies. Sous 0.3 MeV seulement, la courbe est trop basse; ici, des corrections sont nécessaires (voir plus bas).

Parfois, la formule de Bethe est aussi désignée Bethe-Bloch formula, mais cela n'est pas exacte.

Pour les petites énergies, la formule de Bethe peut être simplifiée à

$- \frac{dE}{dx} = \frac{4 \pi nz^2}{m_e v^2} \cdot \left(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2 \cdot \left[\ln \left(\frac{2m_e v^2 }{I}\right)\right]$ .

Par conséquent, pour énergie basse, le pouvoir d'arrêt selon la formule de Bethe décroît à peu près comme $1 / v 2$ quand l'énergie croît. Il arrive à un minimum, approximativement à $E = 3 M c 2$ , où $M$ est la masse de la particule (pour les protons, cela serait à 3000 MeV). Pour les énergies très relativistiques, $( \beta \approx 1)$ , la perte d'énergie croît de nouveau, d'une manière relativistique.

La formule de Bethe est valable seulement pour les énergies assez grandes à ce que la particule chargée (le ion) ne porte pas des électrons atomiques avec elle. À des énergies plus petites, si l'ion porte des électrons, sa charge est réduite effectivement, est par conséquent, le pouvoir d'arrêt est réduit aussi. Mais même si la particule est complètement ionisée, on a besoin des corrections:

[modifier] Corrections de la formule de Bethe

Bethe a trouvé sa formule en utilisant un développement perturbatif en mécanique quantique. Par conséquent, son résultat est proportionnel à la charge $z$ de la particule en carré. La formule peut être améliorée en considérant des corrections correspondant à des puissances plus élevées de $z$ . Elles sont: l'effet Barkas-Andersen (proportionnel à $z 3$ , d'après Walter H. Barkas et Hans Henrik Andersen), et la correction Bloch (proportionnel à $z 4$ ). En outre, il est nécessaire de considérer que les électrons atomiques de la matière ne sont pas stationnaires ("shell correction").

Ces corrections ont été introduites, par exemple, dans les programmes PSTAR and ASTAR qu'on utilise à calculer le pouvoir d'arrêt pour les protons et les particules alpha (www.physics.nist.gov/PhysRefData/Star/Text/programs.html). Les corrections sont large à basse énergie, et elles deviennent plus en plus petites si l'énergie croît.