Formule de Weizsäcker

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La formule de Weizsäcker, appelée aussi formule de Bethe-Weizsäcker, est une formule donnant une valeur approximative de l'énergie de liaison nucléaire B caractérisant la liaison entre les nucléons qui constituent le noyau des atomes. Voir un résumé dans Modèle de la goutte liquide.

[modifier] Expression

$B = a_vA - a_sA^\frac{2}{3} - a_c Z^2 A^{-\frac{1}{3}} - a_a\frac{(N-Z)^2}{A} \pm a_pA^{-\frac{1}{2}}$

Courbe représentant l'énergie de liaison par nucléon en fontion du nombre de nucléons dans le noyau.

où B est l'énergie de liaison, A est le nombre de masse (ou nombre de nucléons contenus dans le noyau A = Z+N), Z est le nombre de protons, N est le nombre de neutrons.

Les valeurs des constantes utilisées sont (en MeV) :

a_v = 15,6
a_s = 17,2
a_c = 0,7
a_a = 23,6
a_p = 11,2

Cette formule permet de retrouver les résultats expérimentaux ci-contre.

[modifier] Explication des différents termes

La formule de Bethe-Weizsäcker fait apparaitre cinq termes :
$\,B=E_v+E_s+E_c+E_a+E_p$ .

Les deux premiers sont dûs au modèle de la goutte liquide du noyau.
Le troisième exprime la répulsion électrostatique entre les protons.
Les deux dernières sont d'ordre quantique.

Pour expliquer ces différents termes, il faut supposer que le noyau est sphérique, de rayon $R 0$ . Et comme il est compact (son volume est proportionnel au nombre de nucléons A), alors $R 0$ est proportionnel à $A 1 / 3$ .

[modifier] Energie de volume

Pour expliquer le premier terme, on peut utiliser une analogie avec un gaz parfait pour lequel l'énergie interne est proportionnelle au nombre de particules constituant le gaz. Ainsi, on pose que cette énergie de volume $E v$ est proportionnelle à A :
$\,E_v = a_v A$ .

[modifier] Energie de surface

La notion de tension de surface sur une goutte liquide peut être utilisée pour interpréter le second terme. En effet, les nucléons à la surface du noyau sont en contact avec moins de nucléons que ceux du centre. L'énergie de liaison en est donc diminuée. Ainsi on introduit l'énergie de surface $E s$ , proportionnelle à la surface du noyau :
$\,E_s = -a_s A^{2/3}$ .

[modifier] Répulsion électrostatique

Les protons étant tous chargés positivement, il se repoussent mutuellement. Cela participe à diminuer l'énergie de liaison par un terme de répulsion électrostatique $E c$ . Cette énergie peut être calculée de la manière suivante :

Le travail

d W

nécessaire pour déplacer une couche sphérique chargée, d'épaisseur

d r

de l'infini à une distance

r

du centre vaut :

$dW=q(V(\infty)-V(r))$ où q est la charge de la couche, et V(r) est le potentiel électrique à la distance r du centre.

En posant $\rho = \frac{Ze}{\frac{4}{3}\pi R_0^3}$ la densité volumique de charge, on a

q = ρ4π r 2 d r

. De plus, la charge dans la sphère de rayon r vaut $\rho \frac{4}{3}\pi r^3$ , et donc le théorème de Gauss donne :
$V(r)=\rho \; \frac{4}{3} \pi r^3 \frac{1}{4\pi \epsilon_0 r}=\frac{\rho r^2}{3 \epsilon_0}$ et $V(\infty) = 0$ .

C'est-à-dire $dW = -\frac{4\pi \rho^2}{3\epsilon_0}r^4dr$ .

En intégrant ce travail de 0 à

R 0

, on obtient $E_c=-\frac{4\pi \rho^2}{15\epsilon_0}R_0^5=-\frac{3Z^2e^2}{20\pi \epsilon_0\ R_0}$ .

Finalement on obtient : $E_c=-a_c\frac{Z^2}{A^{\frac{1}{3}}}$

[modifier] Energie d'asymétrie

La répulsion électrostatique étant en compétition avec l'interaction forte pour stabiliser le noyau, les noyaux lourds ont besoin d'un surplus de neutrons afin que cette interaction forte contrebalance l'effet de la répulsion électrostatique. Il y a donc une asymétrie du nombre de neutrons par rapport au nombre de protons. Cela n'a, à priori, aucun autre effet sur l'énergie de liaison que ceux qui ont été étudiés plus haut. En réalité, un effet quantique va jouer un rôle : les nucléons se trouvent sur des niveaux d'énergie, ce qui fait qu'un surplus de neutrons va augmenter leur énergie. On obtient alors que l'effet sur l'énergie de liaison s'écrit : $E_a=-a_a\frac{(N-Z)^2}{A}$ .

[modifier] Energie d'appariement

Un deuxième effet quantique joue un rôle dans l'énergie de liaison : les nucléons ayant un spin demi-entier ont tendance à s'apparier deux à deux, pour se grouper préférentiellement en nombre pair. Ainsi, un nombre impair de neutrons ou de protons sera moins stable.
Une formule empirique permet de rendre compte de cet effet en posant une énergie d'appariement (ou de parité) $E p$ ayant différentes valeurs selon qu'il y ait un nombre pair ou impair de neutrons ou de protons :
$E_p=a_p\left\{ \begin{matrix} +A^{-\frac{1}{2}} & \mbox{cas pair-pair}\;\;\;\;\;\;\;\; \\ 0 & \mbox{cas pair-impair}\;\;\;\; \\ -A^{-\frac{1}{2}} & \mbox{cas impair-impair} \end{matrix}\right.$