Hexagramme de Pascal
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[modifier] Définition, exemples
- Un hexagramme de Blaise Pascal est un hexagone ordonné tel que les côtés opposés se coupent en trois points alignés. En fait cette configuration n'a lieu que si les six points sont sur une conique d'une part, et si le plan dans lequel on travaille est du type plan projectif pappusien (voir axiomes de plans projectifs).
- Ex: les côtés opposés P1 P2 et P4 P5 se coupent en Z. Idem pour la définition de Y et X. X, Y, Z sont alignés sur la droite de Pascal.
- Pascal l'appelait aussi hexagramme mystique, comme l'explique Leibniz dans les notes de Leibniz et de Tschirnhaus sur les Coniques:
- Hexagrammum pascallanum mysticum ut vocat idemque semper conicum. (Hexagramme de Pascal, mystique comme il l'appelle, et qui est toujours conique).
[modifier] Aspect combinatoire
Si l'on considère la décomposition du nombre 6 en facteurs premiers, 6=2*3, on voit qu'hormis le cas dégénéré 6*1 (6 types de points sur 1 support), il n'existe que deux manières de placer les 6 points. La première manière est de placer 2 types de points sur 3 supports, la deuxième est de placer 3 types de points sur 2 supports. Ceci va servir à combiner deux trames entrelacées, l'une de période 2 et l'autre de période 3. Dans la première configuration, 2 types de points sur 3 supports, on considère les 2 types de points H et I sur les supports 1,2,3. On écrit les types de manière alternée, on écrit en dessous les supports de manière alternée, on écrit en dessous la séquence des 6 points obtenus qui serviront à définir l'hexagramme ordonné. C'est ce qui se passe avec le cercle d'Euler, les 3 supports étant les 3 côtés du triangle, les 2 types de points étant: pieds des hauteurs et milieux.
- types de points H -I -H -I -H -I -H
- n° des supports 1- 2- 3- 1- 2- 3- 1-
- séquence------ H1- I2- H3- I1 - H2- I3- H1-. L'hexagramme ordonné est pascalien si les six points sont sur une conique. C'est le cas pour les pieds des hauteurs et les milieux, mais c'est aussi le cas pour toutes les configurations d'isogonalité dans le triangle, voir conjugué isogonal.
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Lorsque l'on parle de 3 types de points sur 2 supports, l'exemple évident qui se présente est celui où chaque "support" est une droite. On a les 3 types de points A,B,C sur deux droites n°1 et n°2.
- types de points A -B -C -A -B -C -A
- n° des supports 1- 2- 1- 2- 1- 2- 1-
- séquence------ A1 - B2 - C1- A2- B1- C2 - A1. Il s'agit ici du théorème de Pappus, dans lequel la bidroite des supports est en fait un cas particulier de conique.
[modifier] Liens
- Un hexagramme de Pascal peut avoir diverses allures, par exemple celui qui est obtenu sur le cercle d'Euler en faisant alterner simultanément (les milieux et les pieds des hauteurs) et les numéros (1, 2 et 3).
- Bien que les dessins puissent se ressembler quelquefois, il ne faut pas confondre cette forme d'hexagramme pascalien avec l’étoile de David irrégulière telle que celle de la figure ci-dessous qui n'est rien d'autre qu'une configuration de Désargues; il y a bien une droite des 3 points d'intersection de 2 côtés, mais il n'y a pas 1 hexagone, seulement 2 trigones entrelacés.
[modifier] Notes
- Il existe au moins deux sortes d'hexagrammes ; les hexagrammes du Yì Jīng et l'hexagramme de Pascal.
[modifier] Voir aussi
- Un site où sont donnés de nombreux développements sur le Thèorème de Pappus : Merveilleux Pappus
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